Nejlepší odpověď
Jelikož elipsa je kružnicí, můžeme uvažovat o ekvivalentní kružnici. To by byla jen aproximace a ne přesná hodnota obvodu elipsy.
Víme, že rovnice elipsy je:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Když a = b = r, stane se to rovnicí kruhu. Mohl bych tedy napsat rovnici ekvivalentního poloměru kruhu ve smyslu písmen „a“ a „b“.
Spíše než v případě znaménka „a“ a „b“ bychom získali lepší aproximaci vezmeme odmocninu středního čtverce a a b.
tj.
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Proto by přibližný obvod elipsy byl:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Existují mnohem lepší aproximace, ale myslím, že by to stačilo.
Doufám, že to pomohlo.
Odpověď
Zkusme, jestli najdeme obvod elipsy.
Elipsa s částečně hlavní osa a a vedlejší vedlejší osa b má rovnici:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Graf (zde si musíme vystačit s barvou, můj matematický software vyžaduje obnovení licence):
Abychom našli obvod, musíme vyjádřit část tohoto obvodu \ text {d} s jako funkci \ text {d} x, \ text {d} y a doufejme, že dorazíme v nějakém použitelném výrazu.
Pokud předpokládáme, že můžeme \ text {d} s aproximovat přímkou, můžeme použít Pythagoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
nebo
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Předpokládám, že vždy vezmeme \ text {d} x> 0, nebo se přesuneme zleva do vpravo podél hlavní osy.
Zbývá pouze reklama d tyto malé příspěvky délky oblouku. Můžeme uvažovat x \ v [0, a] a vynásobit 4, protože naše elipsa je symetrická v ose x, y.
Zjistili jsme:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ vpravo) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Pokud najdeme (pěkný) způsob vyjádření:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ značka {3}
jsme v podnikání.
Nicméně již máme výraz (1), který se týká y až x. Čas pro výpočet (3), použiji implicitní diferenciaci:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
nebo
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ značka * {}
nebo
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ vpravo) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Musíme to umět psát pouze pomocí x. Znovu použijeme (1):
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Náhradník (5) do (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ vpravo) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Nahradit do (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Existuje několik možností, jak tento integrál přepsat. Jednou z možností by bylo nastavit x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z a jedna by se dostala na:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Jinou metodou by bylo použití parametrizace elipsy v následujícím tvaru:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
A to vede k eliptickému integrálu druhého druhu, což je víceméně standardní přístup:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
s
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
excentricita elipsy.
Při srovnání výrazů (6,7) a (8) vidíme, že bychom mohli upřednostňovat (8) před (6, 7). Poslední výraz je nejen jednodušší v jeho parametru e, ale chová se pěkně. Ve výrazu (6,7) máme stále problém, když x \ to a, z \ to 1.
Nicméně pro výsledek neexistuje žádný uzavřený výrazový výraz. Pro kružnici máme e = 0 a (8) se pěkně redukuje na 2 \ pi a, jak se má dělat. Totéž platí pro (6,7).