Nejlepší odpověď
A2A.
Hodnotu tan40 ° nelze zjistit pomocí standardního trigonometrického součtu, diferenciální nebo submultiple úhlové vzorce. Pokud vám však řešení kubických rovnic vyhovuje, může se vám tato metoda hodit –
Víme,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Nahrazení x jako 40 ° v této rovnici—
opálení 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Psaní tan 40 ° jako y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° je standardní hodnota a rovná se – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Při řešení této rovnice se získají tři hodnoty, z nichž kladná hodnota dává opálení 40 °.
Proto přibližně, tan 40 ° = 0,8394.
Odpověď
Jaká je hodnota \ tan 40 ^ o?
Najdeme hodnotu \ tan 40 ^ o na libovolnou požadovanou úroveň přesnosti pomocí Taylorovy řady \ tan x.
Taylorova řada skutečné nebo komplexní hodnotné funkce f (x), která je nekonečně diferencovatelná ve skutečném nebo komplexním bodě a je dána ,
f (x) = f (a) + \ frac {f „(a)} {1!} (xa) + \ frac {f“ „(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f „“ „(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Toto lze zapsat kompaktně jako f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad kde f ^ {(n)} (a) označuje n ^ {th} derivaci f (x) při x = a.
Je možné poznamenat, že v případě trigonometrických funkcí by úhel musel být vyjádřen v radiánech a ne ve stupních.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ right) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Vezmeme-li x = \ frac {2 \ pi} {9} a a = \ frac {\ pi} {4}, máme (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Na a = \ frac {\ pi} {4} je \ tan x nekonečně diferencovatelné.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f „(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f“ (a) = f „\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f“ „(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „“ (a) = f „“ \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f „“ „(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „“ „(a) = f“ „“ \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ vpravo) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ vlevo (\ frac {\ pi} {36} \ vpravo) ^ 3 \ přibližně 0,83892575.
Hodnota \ tan (40 ^ o), jak je uvedeno v Excelu, je 0,83909963.
Je vidět, že i při pouhých 4 termínech této nekonečné řady je chyba pouze 0,0272 \\%.
Pokud je větší přesnost potřebujeme další pojmy nekonečné řady.