Nejlepší odpověď
Existují dva způsoby, jak zjistit, zda Matice (a tím systém rovnic, které matice představuje) ) má jedinečné řešení či nikoli.
a. Cramerova metoda.
Převeďte systém rovnic do maticového tvaru AX = B, kde A = matice koefektivních látek, X = matice proměnných a B = matice výsledků.
Pojmenujte matici Co-efficients jako D. U matice 3 x 3 nahraďte 1., 2. a 3. sloupec matice D výsledky maticí sloupců, abyste získali matice Dx, Dy a Dz.
- Pokud D není rovno 0 a pokud alespoň jeden z Dx, Dy a Dz není roven 0, pak je soustava rovnic konzistentní a má jedinečné řešení.
- Pokud D = 0 a pokud Dx, Dy a Dz = 0, ale pokud alespoň jedna ze složek koefektivní matice (aij) nebo alespoň jedna z nezletilých 2 x 2 není rovna 0, pak je soustava rovnic konzistentní a má nekonečně mnoho řešení.
- Pokud D = 0 a alespoň jedno z Dx, Dy a Dz není nula, pak je soustava rovnic nekonzistentní (žádné řešení).
Proto systém rovnic přináší jedinečné řešení pouze v případě, že hodnota determinantu se nerovná nule.
b. Metoda hodnocení
Zapište systém rovnic do formátu matice AX = B, kde A = matice koefektivních látek, X = matice proměnných a B = matice výsledků.
Zjistěte pořadí matice A.
Zapište rozšířenou matici [A, B]
Zjistěte pořadí rozšířené matice [A, B]
- 1. Pokud se hodnost matice A nerovná hodnosti rozšířené matice, je soustava rovnic nekonzistentní a nemá řešení.
- Pokud je hodnost obou matic stejná a rovná se počtu neznámé proměnné v systému a pokud matice A není singulární, pak je soustava rovnic konzistentní a má jedinečné řešení.
- Pokud je hodnost obou matic stejná, ale pokud je hodnost menší než počet neznámých, pak je soustava rovnic konzistentní a má nekonečně mnoho řešení. Existují tedy pouze tři možnosti – nekonzistentní a žádné řešení, konzistentní s jedinečným řešením, konzistentní s nekonečně mnoha řešeními.
Takže výtěžek systému a Jedinečné řešení pouze tehdy, když je hodnost matice Co-efficients = hodnost rozšířené matice = počet neznámých.
Odpověď
Teorie vám říká, že Ax = b má jedinečné řešení, pokud \ det (A) \ neq0 a jinak nemá žádné řešení nebo nekonečně mnoho. Matice se nazývá singulární v tom případě
Prax vám však říká, že k tomu téměř nikdy nedojde. Lze tedy vyřešit každou sadu rovnic? Ano i ne. Pokud je matice téměř singulární, můžete získat řešení, ale nebude to smysluplné. Důvodem je, že malé výkyvy na pravé straně mohou v řešení způsobit obrovské výkyvy (o několik řádů). Systém se v tomto případě nazývá špatně podmíněný . To je špatná věc, protože v průběhu výpočtů můžete přijít o významné číslice kvůli odečtení téměř stejných množství.
Jak to můžete zjistit? Číslo podmínky \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | je teoretická míra. Nejlepší hodnota je 1, čím větší, tím horší. Ale není to tak snadné vypočítat. Praktickým způsobem, jak to udělat, je provést malou náhodnou poruchu na pravé straně a porovnat obě řešení. Pokud se výrazně liší, máte špatně podmíněný systém.