Nejlepší odpověď
T\_n (x), n-tý Čebyševův polynom prvního druhu, vyhovuje
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Jsme po T\_ {10} (x). Známe prvních pár:
T\_0 (x) = 1 \ quad protože \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad protože \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad protože \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad protože \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Můžeme snadno vypočítat mocniny dvou,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Obecně T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)), které docela rychle vyplývá z \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) uspokojuje opakování
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Protože T\_0 (x) a T\_1 (x) mají celočíselné koeficienty, opakování nám říká, že všechny T\_n (x) mají celočíselné koeficienty.
Pojďme odvodit opakování . Začneme tím, že prokážeme identitu trig, což je vzorec úhlu alternativního součtu, který používá pouze kosinus:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nyní
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
nebo nechat x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nyní můžeme docela snadno vypočítat T\_ {10} (x),
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Takže konečně dostaneme naši odpověď,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Odpověď
Nechte x = theta, aby se mé psaní usnadnilo.
Nezapomeňte, že násobení je opakované d sčítání.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Jedním ze způsobů, jak najít cos (10x), je použít identita pro kosinus součtu dvou úhlů 9krát, spolu s podobnou identitou pro sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Nyní nahraďte 9x za 8x + x
a pak znovu pečlivě aplikujte identity, aniž byste ztratili cos (x) a sin (x), které jsou již v problému.
Pak všude, kde uvidíte 8x, jej nahraďte 7x + x a znovu použijte identity.
Pokračujte… ..
Možná se budete chtít propracovat spíše než dolů.
Najděte cos (3x), potom cos (4x) atd.
Během práce se zeptejte sami sebe, zda může existovat rychlejší způsob.
Jakmile máme vzorec pro
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
můžete zkusit myslet
na cos (4x) jako cos (2x + 2x)
a cos (8x) ) jako cos (4x + 4x).
Pak cos (10x) jako cos (8x) + cos (2x).
Mighty Také chci zjednodušit výsledek pro cos (2x) a případně použít Pythagorovu identitu k udržení problému, pokud jde o pouze kosinus bez jakýchkoli sinusů ve výsledku.