Nejlepší odpověď
Vím, o co žádáte, přečtěte si prosím konvence psaní. Mělo by to být napsáno cos (1/2).
Chcete-li odpovědět na svou otázku, budete zde muset použít kalkulačku. Neexistuje způsob, jak to mohu vypočítat ručně. Další věc je hodnota v radiánech nebo stupních. Dám sem obojí. Je 0,99996 ve stupních a 0,8775 v radiánech.
Odpověď
Poměrně málo lidí se rozčílí, když někdo tvrdí, že 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Nejsem jedním z těch lidí, ale si si myslím, že pokud začnete s takovým nárokem, měli byste si ve své mysli velmi jasně uvědomit, o co jde to máte na mysli.
Když definujete nekonečný součet prvků a\_n, obvykle to definujete jako:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Pokud limit existuje a má konečnou hodnotu, říkáme, že nekonečný součet konverguje a my říkáme, že se rovná uvedenému limitu. Například:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Existuje však spousta nekonečných součtů, které se rozcházejí a my jim obvykle nepřiřazujeme hodnotu. Příklad z toho:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {neexistuje.}
Lze také zkontrolujte, zda:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
který se nespojuje — tedy řada 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots je divergentní, a proto mu obvyklá definice limitu nepřiděluje hodnotu.
Existují však způsoby , které může tuto definici rozšířit. To znamená, že můžete přijít na způsoby, jak přiřadit konečnou hodnotu divergentní řadě, která stále souhlasí s hodnotami, které získáváme obvyklým způsobem pro konvergentní řady.
Problém je v tom, že jelikož tyto metody, jejich samotná podstata ve skutečnosti neodpovídá ničemu fyzickému *, takže nejlepší, v co můžeme doufat, je, že takové metody mají pěkné formální vlastnosti. Zejména bychom chtěli požádat, aby splňovali následující axiomy:
1.) (Pravidelnost) Pokud je \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n konvergentní, pak metoda součtu souhlasí s obvyklá metoda výpočtu limitu.
2.) (Linearita) Pokud jsou \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A a \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B sčítatelné , pak máme \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Pokud je r skutečné číslo, pak \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilita) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Tyto axiomy jsou velmi užitečné. Například ukážete, než jakákoli metoda sumace, která splňuje tyto tři axiomy, musí vyhodnotit 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, protože:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Všimněte si, že v tomto důkazu hraje důležitou roli jak linearita, tak stabilita. Stabilita nám umožňuje „vytáhnout“ 1 vpředu a linearita nám umožňuje vytknout číslo 2.
Každá taková metoda součtu musí také vyhodnotit 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Důkaz je podobný:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Budou však existovat divergentní řady, které nelze vyhodnotit žádnou metodou sčítání, která splňuje tyto tři axiomy. Předpokládejme například, že bychom řadě 1 + 1 + 1 + \ ldots mohli přiřadit konečnou hodnotu s. Pak bychom měli:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Jejda. Bohužel se to ještě zhoršuje, protože z toho vyplývá, že žádná metoda sčítání, která splňuje tyto tři axiomy, nemůže vyhodnotit ani 1 + 2 + 3 + \ ldots, protože:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (podle stability) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (podle linearity)
Takže pokud chcete definovat metodu sčítání, která vyhodnotí 1 + 2 + 3 + \ ldots, musíte buď vyhodit linearitu nebo stabilitu. Existují různé přístupy — někteří obětují jeden, jiní obětují druhý.
To bohužel svědčí o tom, jak probíhá součet divergentních řad: máte mnoho různých metod jejich sčítání a ne vždy souhlasím. Často se shodují na důležitých sériích, ale pokud tvrdíte něco jako 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, měli byste lépe objasnit, jakou metodu sčítání náhodou používáte.
Jako teoretik čísel je mým oblíbeným přístupem regularizace funkce zeta. Základním příkladem je toto: zvažte funkci Riemannova zeta \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Tento vzorec je konvergentní, pouze pokud je skutečná část s větší než 1.Existuje však standardní způsob rozšíření funkce Riemannova zeta tak, aby byla funkcí v celé komplexní rovině (dobře, máte několik pólů, ale i když je to důležité, jedná se o technický problém) — toto se nazývá analytické pokračování, které získáte výslovně nalezením funkční rovnice pro funkci zeta.
Pomocí analytického pokračování zjistíte, že \ zeta (-1) = -1/12. Pokud ale „připojíte to“ k původnímu výrazu funkce zeta, získáte:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Takto funguje regularizace funkce zeta: ke své sérii přidružíte funkci zeta , a poté pomocí analytického pokračování přiřaďte sérii konečnou hodnotu.
Toto je v mnoha ohledech formální hra, která, i když je zajímavá, by pravděpodobně neměla být považována za odpovídající něčemu hmatatelnému.
* Ano, jsem si vědom, že divergentní řady a integrály se používají při výpočtech v teorii kvantového pole. Tvrdil bych však, že tyto metody jsou výpočetním nástrojem spíše než fyzickou interpretací toho, o co vlastně jde. Kromě toho v tomto okamžiku nemáme matematicky přísný model teorie kvantového pole, takže každá zvláštní chiméra, která by neměla být, může být dosud znovu interpretována nebo zcela odstraněna.