Nejlepší odpověď
Hodnota Cos2theta je
Tj., Cox2x = cos (x + x)
Vzorec pro cos (a + b) je cosa.cosb-sina.sinb
Zde, a = x &, b = x
Potom vložte hodnota, s a & b
Máme
Cos2x = cosx.cosx- sinx.sinx.
Cos2x = cos²x- sin²x.
Tady víme, že sin²x = 1- cos²x pak vložíme
Cos2x = cos²x- (1- cos²x) máme,
= cos²x- 1+ cos²x
Cos2x = 2cos²x- 1 toto je další hodnota pro dvojitý úhel Cos.
Cos2x + 1 = 2cos²x je to také hodnota pro cos
± underroot cos2x + 1/2 = cos²x
Odpověď
„Co je x když 2 \ sin (x) = \ cos (x) ? „
Máme následující:
2 \ sin (x) = \ cos (x)
Odečtěte obě strany od \ cos (x), nyní máme:
2 \ sin (x) – \ cos (x) = 0
Nyní nechceme žádné chybějící kořeny, takže si všimneme, že můžeme vyřadit a \ cos (x). Výsledkem bude:
\ cos (x) \ left (2 \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} – 1 \ right) = \ cos (x) (2 \ tan (x) – 1) = 0
A pomocí vlastnosti nulového produktu ( také známé jako zákon nulového faktoru ), součin dvou nenulových prvků musí mít za následek nenulový součin, tj. Pokud máme ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0 .
Takže z výše uvedeného buď \ cos (x) = 0 nebo 2 \ tan (x) – 1 = 0. Mohli bychom tedy mít dvě podmínky. Ale podívejme se, jestli jeden porušuje druhého. Nejprve vyřešíme pro \ cos (x) = 0. To je jednoduché.
\ cos (x) = 0 \ iff x = \ arccos (0) = \ dfrac {\ pi} {2} + \ pi k, k \ in \ Z.
Ale počkejte, vešli jsme dovnitř příliš rychle. Všimněte si, že \ tan (x) = \ sin (x) / \ cos (x) nemůže mít na prvním místě \ cos (x) = 0, protože by to mělo za následek dělení 0 a výsledkem by byl výsledek nedefinováno . Výsledek x = \ pi / 2 + \ pi k by tedy porušil výše uvedenou rovnici, protože máme \ tan (x) ve druhém členu, abychom jej mohli ignorovat. Pojďme vyřešit tento druhý člen.
2 \ tan (x) – 1 = 0
\ tan (x) = \ dfrac {1} {2}
Vezmeme inverzní tangens obou stran rovnice:
x = \ arctan (1/2)
A víme, že funkce \ tan (x) je periodická s tečkou z \ pi. Pak by tento výsledek platil pro všechna x = \ arctan (1/2) + n \ pi, n \ in \ Z.
A máme hotovo.
Poznámka: I víme, že můžeme obě strany jednoduše rozdělit \ cos (x) a okamžitě získat 2 \ tan (x) = 1. Ale toto je hlavní častá chyba, kterou většina lidí dělá. U této konkrétní otázky to určitě můžete udělat, aniž byste ztratili nějaké kořeny (nebo nuly, podle toho, jak jim říkáte ), protože se stane, že řešení \ cos (x) = 0 je neplatný. Ale u některých složitějších otázek se můžete dostat do potíží pouhým provedením tohoto rychlého rozdělení. Musíte získat všechny kořeny , které mohou nebo nemusí v rovnici existovat, abyste získali správné řešení. Pamatujte si to.