Nejlepší odpověď
Na jednotkovém kruhu je souřadnice x cos (x).
Vezměte limit, když se x blíží 90 stupňům. Vidíte, že souřadnice x se blíží 0, protože poloměr se blíží kolmé přímce (tedy žádná složka x).
Vezměte limit levé ruky a je to stejné.
Trojúhelník se samozřejmě rozpadá.
Zde je obrázek nápovědy:
Jak vidíte, šedá čára (cosx) se zmenšuje a zmenší.
To je ono. Cos (90) je 0. To je 90, které jsou stupně a ne radiány.
Pokud v radiánech, pak je to něco jako −0,448073616129.
Odpověď
Dovolte mi dát vám komplex odpověď.
Nechť, \ frac {A} {2} = x.
Takže, A = 2x
Máme,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Pojďme vzít Eulersův „vzorec,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Pokud si tento vzorec pamatujeme, můžeme tomu porozumět,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), protože pouze \ sin je lichá funkce, f (-x) = – f ( x) a \ cos je sudé, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Takže skončíme vzorcem.
Také pro \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Kde i je imaginární jednotka . (i ^ 2 = -1)
Nyní si dovolíme pouhým srdcem vzorec pro \ cos (2x), (pomocí pluginu x x 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Začneme odvozovat náš vzorec.
Počínaje \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Rozšiřujeme se,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nyní, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ krát a ^ c = a ^ {b + c},
(Takže (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Nyní dovolíme vypočítat \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Pokud odečteme \ sin ^ 2 (\ theta) od \ cos ^ 2 (\ theta), dostaneme,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Zrušíme minusy ve jmenovateli \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Po přidání můžeme zrušit -2 + 2 až 0, poté dostaneme,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
což je stejný vzorec pro \ cos (2x), jak jsme diskutovali dříve. Proto se ukázalo.
Musíme však udělat ještě něco jiného. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
což je stejný vzorec pro cos (A)
Takže, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Děkujeme za A2A