Nejlepší odpověď
Pokud nehrajete, předpokládám, že chcete přesnou hodnotu \ sin 38. (Proč? Kdo ví.) Popíšu, jak dospět k této přesné hodnotě. Používáme dvě tvrzení. Pokud známe přesnou hodnotu \ sin x, můžeme vypočítat přesnou hodnotu \ sin nx pro všechna celá čísla n. Pokud také známe přesnou hodnotu \ sin x, můžeme vypočítat přesnou hodnotu \ sin \ frac {x} {3}.
Výše uvedené znamená, že bychom našli \ sin 1, pak bychom mohli najít \ sin N pro jakékoli celé číslo N.
Takže dokážeme tvrzení:
Tvrzení 1 : Pokud známe přesnou hodnotu \ sin x, pak můžeme najít přesnou hodnotu \ sin nx pro kladné celé číslo n. (Následují záporné hodnoty.)
Důkaz : Indukci používáme na n. Je zřejmé, že tvrzení platí pro n = 1. Než budete pokračovat, nezapomeňte, že znalost \ sinx znamená znalost \ cos x. Nyní \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x a máme hotovo.
Tvrzení 2 : Pokud známe přesnou hodnotu \ sin x, pak můžeme najít přesnou hodnotu \ sin \ frac {x} {3}.
Důkaz : Tento je zajímavější. Jako argument nechme \ sin \ frac {x} {3} = a. Nyní \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} nebo 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0, kde známe \ sin x. Jelikož se jedná o kubický tvar, lze jej přesně vyřešit.
Známe \ sin 36 a \ sin 30, takže víme \ sin 6 a tedy \ sin 3 a nakonec \ sin 1.
Odpověď
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0,2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^) 2)) / 2) -0,2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2)
S0 to jde.