Nejlepší odpověď
Je lákavé psát
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Pak bychom mohli napsat
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Díky tomu je součet:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
To se mi moc nelíbí pro pár důvodů. Nejprve ignoruje otázku, kolik hodnot \ sqrt {i} má.
Definovali jsme radikál aplikovaný na reálné číslo jako hlavní hodnotu, takže y = \ sqrt {x} je funkce . Hlavní hodnota komplexu druhé odmocniny je složitější (pravidlo jako nejmenší nezáporný úhel) a nefunguje tak dobře.
Podle mého názoru je nejlepší zásadou říci, že máme dvě odmocniny . \ sqrt {i} má více hodnot, stejně jako i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Druhým problémem, který mám s exponenciální formulací, je okamžitý skok na polární souřadnice. Automaticky se vydáme klikatou cestou zahrnující transcendentální funkce a jejich inverze. Druhá odmocnina komplexního čísla to nevyžaduje. Můžeme zkontrolovat
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ vpravo)
kde potřebujeme nestandardní \ textrm {sgn} (0) = + 1.
Máme a = 0, b = 1 tedy
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Nejsou potřeba žádné spouštěcí funkce. Podobně a = 0, b = -1 dává
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Zdá se, že součet má čtyři možné hodnoty:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Vypracujme hodnoty v závorkách.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
takže skutečně máme čtyři hodnoty, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Můžeme to napsat jako
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad pro celé číslo k
Je třeba zvážit ještě jeden problém. Někdy, když píšeme výrazy, které se zdají být konjugáty, znamená to, že když se vezme v úvahu více hodnot, zachová se konjugovaný vztah. Jedním příkladem je depresivní krychle:
x ^ 3 + 3px = 2q má řešení
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Každá z těchto kořenů krychle má tři hodnoty nad komplexními čísly. Samotná kubická kost má ale pouze tři řešení. I když bychom mohli být v pokušení interpretovat tento výraz jako devět různých hodnot, víme, že to má být jen tři. Dva kořeny krychle mají být konjugáty, takže je třeba je spárovat jako takové.
V této interpretaci vždy přidáváme konjugáty, abychom dostali jen skutečná řešení:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} nebo (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } což je \ pm \ sqrt {2}.
Nakonec, když interpretujeme radikál jako hlavní hodnotu, dostaneme \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} v první kvadrant a musíme si vybrat mezi druhým a čtvrtým kvadrantem pro hlavní hodnotu \ sqrt {-i}. Pravidlo „nejméně kladného úhlu“ naznačuje druhý kvadrant, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} tak
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Trochu nepořádek, všechny tyto různé interpretace.
Odpověď
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega je třetí kořen jednotky: z ^ 3 = 1.
Kořeny této rovnice jsou: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Máme: u ^ 3 = 2 + 2i a (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Takže:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {s} \; k \ v {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ v {0,1,2}
Takže:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Získáváme:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ Displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {nebo} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- – 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3