Nejlepší odpověď
Pokud nechceme používat trigonometrické tabulky, můžeme získat přibližnou hodnotu \ tan 27 ^ o pomocí Taylorovy expanze \ tan x.
Taylorova řada reálné nebo komplexní funkce f (x), která je nekonečně diferencovatelná na reálné nebo komplexní číslo a, je dána
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, kde f ^ {(n)} (a) je hodnota derivace n ^ {th} při x = a.
Všimněte si, že úhel musí být vyjádřen v radiánech.
Nechť f (x) = \ tan x a a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radiány.
\ Rightarrow \ qquad f „(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, a,
\ qquad f „“ (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Chceme hodnotu \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Potom pomocí prvních dvou členů Taylorovy řady dostaneme ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ přibližně \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0,507537.
Chyba v této hodnotě je -0,3902 \\%.
Používání pouze prvních tří výrazů z Taylorovy řady dostaneme,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f „“ (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ přibližně \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0,508592.
Chyba v této hodnotě je -0,1831 \\%.
Pokud chceme větší přesnost, můžeme použít více výrazů.