Nejlepší odpověď
Je těžké vybrat si jednu, takže si ji nechám vybrat 🙂
- Eulerova identita
Rovnice kombinuje pět nejdůležitějších čísel v matematice . Jedná se o:
- 1 – základ všech ostatních čísel
- 0 – koncept nicoty
- pi – číslo, které definuje kruh
- e – číslo, které je základem exponenciálního růstu
- i – „imaginární“ druhá odmocnina -1
2. Einsteinova rovnice pole ( souhrn deseti rovnic)
Stručně to shrnul fyzik John Wheeler: „Časoprostor říká hmotě, jak se pohybovat ; hmota říká časoprostoru, jak křivky. “
Einsteinova rovnice nám může říci, jak se náš vesmír v průběhu času změnil, a nabízí záblesky nejranějšího okamžiku stvoření. Není žádným překvapením, že je oblíbeným u mnoha vědců.
3. Vlnová rovnice
Vlnová rovnice popisuje, jak se vlny šíří. Platí pro všechny druhy vln, od vodních vln po zvuky a vibrace, a dokonce i pro světelné a rádiové vlny.
Je to plakátové dítě za myšlenku, že matematické principy se vyvíjely v jedné oblasti, nebo pro jejich vlastní může mít zásadní aplikace v jiných oblastech. Jeho krása vychází z kombinace těchto atributů: elegance, překvapení, intelektuální hloubka, užitečnost.
4. Logistická mapa
Logistická mapa je jedním z klasických příkladů teorie chaosu.
lze shrnout takto: z velmi jednoduchých pravidel může vzniknout velká složitost.
Rovnici lze použít k modelování mnoha přírodních procesů, například toho, jak populace zvířat v průběhu času roste a zmenšuje se.
Ukázalo se, že chování populace je nesmírně citlivé na hodnotu r, a to neintuitivně. Pokud je r mezi 0 a 1, populace vždy zemře, ale pokud je mezi 1 a 3, populace se přiblíží pevné hodnotě – a pokud je nad 3,56995, populace se stane divoce nepředvídatelnou.
Toto chování jsou matematiky popsány jako „chaotické“ a nejsou tím, co bychom instinktivně očekávali. Všechny ale vycházejí z rovnice, která je matematicky docela jednoduchá.
To je zatím vše.
Pokud si myslíte, že mi nějaká rovnice chyběla, pak mi prosím řekněte, já “ Přidám to do odpovědi 🙂
Odpověď
Vidím spoustu základních výpočtových problémů týkajících se PEMDAS právě teď zveřejněných zde, ale to je základní matematika, kterou jsem si jistý 99\% lidí, kteří si myslí, že jsou v matematice opravdu dobří, to může napravit. Také jsem si všiml rovnice Boba Hocka, která je velmi kreativní, ale nevěřím, že je tak těžké ji dokázat.
Problém, který zde zveřejňuji, je problém 15 AIME II z roku 2006, který vypadá velmi komplikovaně, ale díky kreativnímu vztahu se rozpadá na něco docela jednoduchého:
Vzhledem k tomu, že x, yaz jsou reálná čísla, která uspokojí
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
a to x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, kde m a n jsou kladná celá čísla an je nedělitelné čtvercem libovolného prvočísla, najděte m + n
Na první pohled řešíme problém algebry, ve kterém musíme najít součet. První myšlenkou by mohlo být vyrovnání rovnic, abychom se do určité míry zbavili odmocniny, ale taková metoda je zjevně chaotická.
Všimněte si, že nemusíme řešit pro každé z x, y , z samostatně a potřebujeme pouze jejich součet, můžeme zvážit přidání tří daných rovnic, které dávají
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Máme to, co máme potřeba na jedné straně, ale druhá strana nevypadá, že by se něco zrušilo, takže se to nezdá správné.
Třetím nápadem by bylo faktorovat výraz uvnitř odmocniny pomocí rozdílu čtverců protože dané zlomky jsou perfektní čtverce. Tímto způsobem získáte
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
atd., ale i tak neexistuje jasná cesta manipulovat s faktory jakýmkoli užitečným způsobem. Stručně řečeno, můžeme se pokusit vyřešit jednu proměnnou po druhé, ale neexistuje jasný způsob, jak to udělat.
Ukázalo se, že nejlepším řešením tohoto problému je uvažovat geometricky. Připomeňme si Pythagorovu větu, která uvádí, že v pravoúhlém trojúhelníku s nohami a, b a přeponou c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Můžeme s tím manipulovat, abychom dostali a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Toto je přesně forma výrazů na RHS rovnic.
Pokud s touto realizací nakreslíme odpovídajícím způsobem trojúhelník, můžeme z první rovnice vytvořit dva pravé trojúhelníky s výškou \ frac {1} {4} as přeponou y a z. x se rovná součtu třetí délky každého pravého trojúhelníku. Necháme-li, aby výška pravých trojúhelníků byla stejným úsečkovým segmentem délky \ frac {1} {4}, vytvoříme větší trojúhelník s délkami stran x, y, z a výškou \ frac {1} {4} na straně x.
Pokračujeme-li se stejnou myšlenkou pro druhou a třetí rovnici, dostaneme, že výška trojúhelníku na stranách y a z je \ frac {1} {5} a \ frac {1} {6}. Z plošné rovnice trojúhelníku můžeme dostat
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {a} y = \ frac {5} {6} z
Dále z Heronova vzorce , dostaneme
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Nahrazením v z z ostatních vzorců oblasti se to zjednoduší na
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Tedy
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
takže m + n = 2 + 7 = \ v krabici {9}