Nejlepší odpověď
Jak již mnozí správně odpověděli, kosinus nekonečna nemá žádnou hodnotu. Ale je to horší. Je to tak špatné, jak jen to může být.
Složité funkce
Trigonometrické funkce, včetně kosinu, jsou obvykle považovány za funkce, které berou reálná čísla jako argumenty, ale lze je rozšířit na komplexní funkce. To můžete udělat pro kosinus pomocí této definice výkonové řady
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Tím je definován kosinus v celé komplexní rovině \ mathbf C.
Autor rozšíření funkcí na složité argumenty, můžete jim porozumět způsoby, které nemůžete, když jsou použity pouze skutečné argumenty. To je síla komplexní analýzy.
Rozšířená komplexní čísla \ overline {\ mathbf C}
Zvažte mnohem jednodušší funkce f (z) = 1 / z. Je definována pro všechna komplexní čísla kromě z = 0. Zdá se, že má nekonečnou hodnotu při z = 0, a existuje způsob, jak tento koncept formalizovat. Rozšířte komplexní čísla o jeden prvek, označený \ infty, abyste získali to, co se někdy nazývá uzavřená komplexní rovina nebo Riemannova koule, \ overline {\ mathbf C}. Tím můžete definovat 1/0 = \ infty a 1 / \ infty = 0, takže tato funkce f (z) = 1 / z je definována na všech \ overline {\ mathbf C}. Ve skutečnosti dává bijekci \ overline {\ mathbf C} \ to \ overline {\ mathbf C}.
Co se stane, když to zkusíte s tangensovou funkcí \ tan z? Stávají se některé pěkné věci. Zatímco pro reálná čísla není \ tan \ pi / 2 definováno, pro \ overline {\ mathbf C} je definováno a ve skutečnosti \ tan \ pi / 2 = \ infty. Singularita pro \ tan z při z = \ pi / 2 je jako singularita pro 1 / z při z = 0.
Tyto dvě funkce, 1 / z a \ tan z, mají póly , to znamená, že nabývají hodnoty \ infty. Funkce 1 / z má jeden pól při z = 0. Funkce \ tan z má nekonečně mnoho pólů, jeden pro každou hodnotu z rovnou \ pi / 2 plus integrální násobek \ pi.
Kosinus z \ infty
Je čas vrátit se zpět na \ cos \ infty.
Zvažte funkci f (z) = \ cos (1 / z). Žádat o kosinus \ infty je stejné jako žádat o f (0), protože v \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. Na rozdíl od výše zmíněných pólů pro funkce 1 / z a \ tan z má tato funkce tzv. esenciální singularitu. Libovolně blízko z = 0, funkce f (z) = \ cos (1 / z) přebírá všechna komplexní čísla nekonečně mnohokrát. To znamená, že \ cos z má zásadní singularitu v z = \ infty. Je to tak špatné, jak jen to může být.
Odpověď
To se nerovná ničemu. Cos (nekonečno) je neurčitý, protože sínus kosinus a tangens, stejně jako jeho inverze (secan, kosekans a kotangens), jsou odvozeny z jednotkového kruhu.
kosinus je osa x a sine je osa y. Tím se vytvoří pravý trojúhelník. Kruh jednotky je vystředěn na počátek. A ten pravý trojúhelník, který je „vytvořen“, je délka nohou tam, odkud jsou odvozeny.
U věcí jako je 390 stupňů se jeho pohyb pohybuje více než jednou a úhel se vyhodnotí, jako by pouze přešel z 0 stupňů na místo, kde skončil, což je méně než 360. To je v podstatě jen modulus.
Výraz, který to může představovat, je n mod 360 (nebo pro informatiku n\% 360), kde n je úhel.
Takže pro nekonečno mod 360 nemůže mít odpověď, protože nekonečno neustále stoupá. takže to může být technicky cokoli. Infinity není číslo, je to koncept. Koncept mít žádný konec. Takže použití nekonečna jako čísla má pouze hodnotu, která se v jistém smyslu vždy zvyšuje. To to trochu zjednodušuje, protože to ve skutečnosti nestoupá, je to spíš jako předpokládat, že je konec, když není, seznam čísel nemá konec. Jeho hodnota je neomezená. Proto při jednání s nekonečnem používáme limity. Ačkoli nekonečno jako číslo v zásadě používá limity, nemůžeme říci 1 / nekonečno je nula, protože nekonečno jen neustále stoupá na hodnotě, neptá se, k čemu konverguje. Ačkoli konverguje k nule, nikdy nebude nulová. Nejblíže k nule bude vždy 1 – 0,999…., Což se sice rovná 0,999…, ale není. Logicky to tak není a nemůže být. Pokud to přijmeme, můžeme stejně snadno říci, že 1 = 2 a libovolné n se rovná jakémukoli m (n = m).
Zpět na původní otázku, pokud se podíváte na graf cos (x), uvidíte, že osciluje nahoru a dolů nepřetržitě od 1 do -1. Takže jak to jde do nekonečna, nikdy to nebude konvergovat a cos (nekonečno) bude vždy přepínat mezi 1 a -1. Pokud mezi nimi vyberete jakoukoli hodnotu, nebude to nekonečno, protože jeho hodnota stále roste.
Takže na závěr je cos (nekonečno) neurčitý.