Nejlepší odpověď
Většina sekvencí, na které narazíte, je dána vzorcem pro n- th termín: a\_n = f (n), kde f je funkce sestavená z aritmetických operací, mocnin, kořenů, umocňování, protokolů a někdy i dalších funkcí. Otázkou je, co se stane, když se n blíží nekonečnu. Je \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) konečné číslo, tj. Konverguje posloupnost, nebo se stane něco jiného? Odchyluje se od \ infty nebo do – \ infty, osciluje mezi dvěma různými čísly, nebo propukne veškerý chaos?
Pokud vás „nezajímá jistota, ale jste spokojeni s odpovědí, že“ Ve většině situací bude mít pravdu, stačí spočítat a\_ {1 000} nebo někde jinde v pořadí. U většiny sekvencí, se kterými se setkáte, by to mělo odpovědět na vaši otázku.
Ale to není vaše otázka. Opravdu chcete vědět, zda posloupnost konverguje nebo ne. Chcete jistotu a pokud je to možné, chcete vědět, na jaké číslo konverguje. Bohužel sekvence forem, které může mít, jsou neomezené. Nejlepší, co můžete udělat, je mít několik principů, které se postarají o většinu případů. Zde je několik principů.
- Racionální funkce , tj. kvocienty polynomů, například a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Můžete vidět, co se stane, když vydělíte čitatele a jmenovatele nejvyšší mocí n, která je přítomna. Můžete to shrnout do věty: Pokud je stupeň čitatele stejný jako stupeň jmenovatele, pak posloupnost konverguje k poměru hlavních koeficientů (v příkladu 4/3); pokud má jmenovatel vyšší stupeň, posloupnost konverguje k 0; pokud má čitatel vysoký r stupeň, pak se posloupnost rozchází na \ infty, pokud mají přední koeficienty stejné znaménko, nebo na – \ infty, pokud mají různá znaménka.
- Kvocienty algebraických funkcí, které zahrnují kořeny, jako je a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Vydělte čitatele a jmenovatele zlomkovou mocninou n. V tomto příkladu to \ sqrt n udělá.
- Skladby , například a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Vnější funkce, sine, je spojitá funkce a spojité funkce zachovávají limity. V tomto případě máme \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, takže původní sekvence se blíží \ sin0 = 0. Místo toho ale zvažte a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Zde máme \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty a \ sin x osciluje mezi –1 a 1 jako x \ to \ infty, takže tato sekvence nemá žádné omezení.
- Relativní objednávky růstu . Často budete mít a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)}, kde f (n) \ to \ infty a g (n) \ to \ infty. Co se stane s kvocientem, záleží na tom, zda čitatel nebo jmenovatel roste rychleji. Pomocí symbolu \ prec označím, že jeden roste mnohem pomaleji než jiný, tj. f \ prec g znamená \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Je užitečné znát několik z nich a vy ano. Například n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. To jsou všechny příklady polynomů, ale měli byste znát několik dalších funkcí \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L „Hôpital“ s pravidlem . I když jsou sekvence diskrétní, pokud konverguje spojitý limit nebo pokud se odchyluje na plus nebo minus nekonečno, pak ano dělá diskrétní limit. Takže například pokud máte a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} a nepoužili jste výše uvedené příkazy, můžete použít L „Hôpital“ s. Protože v limitu, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, čitatel i jmenovatel se blíží nekonečnu, bude tento limit stejný jako limit, kde nahradíte čitatele a jmenovatele jejich deriváty, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, a pokud stále není jasné, co se stane, protože toto je také ve tvaru \ infty / \ infty, můžete použít pravidlo L „Hôpital“ ag ain.
- Zvláštní limit pro e ^ x. Někdy se to používá jako definice exponenciální funkce. Je to užitečné vědět a často se to objeví v užitečných sekvencích. (1 + x / n) ^ n \ to e ^ x
Jsem si jistý, že existuje více technik. Nezapomeňte za pochodu zjednodušit používání algebry.
Odpovědět
Několik testů pro testování konvergence sekvencí.
1. Vzhledem k posloupnosti a\_n a pokud máme funkci f (x) takovou, že f (n) = a\_n a \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L, pak \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Pokud \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0, pak \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Sekvence {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty konverguje, pokud -1 \ ler \ le1.
4. Pro sekvenci \ {a\_n \} pokud \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, pak a\_n je konvergentní s limitem L.