Jaký je součet druhých odmocnin prvního n přirozeného čísla?


Nejlepší odpověď

Myslím, že hodnota tohoto součtu (která je označena) \; \; S \; \; je přibližně \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Lze to zdůvodnit takto:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; udává plochu pod křivkou \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; Osa X a souřadnice na \; \; x \; = \; 1 \; \; a \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

Požadovaný součet \; \; S (n) \; \; lze interpretovat jako oblast \; \; n \; \; obdélníkové svislé pruhy šířky \; \; 1 \; \; výšky \; \; \ sqrt {j} \; \; vztyčené na \; \; X – \; \; osa kde \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (svislé strany \; \; j ^ {th} \; \; obdélník jsou části souřadnic v \; \; x = j \; \; a \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Abychom získali dobrou aproximaci, musíme odečíst chybový člen \; \; E (n) \; = \; oblast mezi křivkou a obdélníkovými pruhy od (1).

Všimněte si, že \; \; E (n) \; \ cca \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Po zjednodušení dostaneme \; \; S (n) \; \ přibližně \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Odpověď

Byl již požádán.

Podívejte se, jaký je součet druhých odmocnin prvního n přirozeného čísla?

Pak se podívejte na zadaný článek.

Děkuji za dotaz a poukázání na tuto zajímavou věc, ale na tuto není možné vyřešit sám.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *