Jaký je součet prvních 100 sudých čísel?


Nejlepší odpověď

Součet prvních 100 sudých čísel je stejný jako součet prvních zdvojnásobených 100 po sobě jdoucích čísel. Například nejprve vyzkoušejte menší měřítko. Místo toho najděte součet prvních 5 sudých čísel. Takže:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 30

Začněte od každého odečítat výrazy.

4 + 6 + 8 + 10 = 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5

6 + 8 + 10 = 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5

8+ 10 = 4 + 4 + 5 + 5

10 = 5 + 5

To dělá věci podstatně jednodušší. Stále používejte součet prvních 5 po sobě jdoucích čísel, zvažte jejich přidání takto:

1 + 5 = 6

2 + 4 = 6

3 + 3 = 6

4 + 2 = 6

5 + 1 = 6

Takže zde máte 5 součtů ze 6. Máte také duplicitní součty, a pokud jednoduše chtěli jste součet prvních 5 po sobě jdoucích čísel, vše, co musíte udělat, je snížit je na polovinu. Po jejich rozpuštění skončíte 5 součtů po 3 , nebo 15.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Jak již bylo ukázáno, součet prvních n sudá čísla jsou dvojnásobkem součtu prvních n po sobě jdoucí čísla, takže ne polovinu získáte požadovaný výsledek.

To lze ještě více zjednodušit. Jednoduchý vzorec pro získání součtu prvních n po sobě jdoucích čísel je:

n (n + 1) / 2

Takže 1 + 2 + 3 + 4 + 5 pomocí tohoto vzorce by bylo:

5 (6) / 2 = 15

Přirozeně, najít součet prvních 5 sudých čísel, je to téměř stejný vzorec.

n(n+1)

5 × 6 = 30

Chcete-li získat výsledek pro svoji otázku, můžete použít stejný vzorec.

100 × 101 = 10100

Součet prvních 100 sudých čísel je tedy 10100.

Odpověď

Podívejme se na 0 až 10

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Nyní prozkoumejme 0 až 20 a další v blocích po 20 číslech.

2 + 4 + 6 + 8 +10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110

22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 = 310

42 + 44 + 46 + 48 + 50 + 52 + 54 + 56 + 58 + 60 = 510

Jak vidíte celkový nárůst o 200 každých čas

2–20 110 kumulativních 110

22–40 310 kumulativních 420

42 – 60 510 kumulativních 930

62 – 80 710 kumulativně 1640

82 – 100 910 kumulativně 2550

102 – 120 1110 kumulativně 3660

122 – 140 1310 kumulativně 4970

142 – 160 1510 kumulativních 6480

162 – 180 1710 kumulativních 8190

182 – 200 1910 kumulativních 10100

Každé číslo v kumulativním sloupci se zvyšuje

Nechť n je každý krok za 20 let

Nyní se podívejme na kumulativní součty.

n = 1 horní číslo rozsahu = 20 Celkem = 110

n = horní číslo rozsahu 2 = 40 celkem = 420

n = horní číslo rozsahu 3 = 60 celkem = 930

od inspekce nx 20 je horní číslo rozsahu a hodnoty = polovina rozsahu horní na druhou + polovina rozsahu nahoře, např.

10 na druhou +10 = 110

100 na druhou +100 = 10100

Takže jsme dospěli k

Kumulativní součet = (10 xn) na druhou + 10 xn pro n = 10

n = 1 kumulativní součet = 110

n = 10 kumulativní součet = 10100

K tomu došlo bez jakékoli předchozí znalosti rovnic pro součty řad z prvních principů.

Nakonec jsou odpovědí čísla požadovaná v otázce 100 na druhou +100 = 10100

A co lichá čísla, bude rovnice fungovat?

Podívejme se na 1–9, celkem 25 – polovina 9 je 4,5. Takže 4,5 na druhou + 4,5 = 24,75, takže je nízká 0,25.

Ukázalo se, že ve všech rozsazích je vždy 0,25 nízká.

Takže pro lichá čísla platí rovnice:

Kumulativní součet = polovina koncového čísla na druhou + polovina koncového čísla + 0,25

Nyní se podívejme, proč rovnice funguje.

Podívejme se znovu na 0 až 10. Součet se rovná n na druhou + n = n (1 + n), kde n je v tomto případě střední hodnota 5.

Takže toto je 6 x 5 = 30.Takže součet = průměr x další nejvyšší hodnota.

Takže 0 až 500 má tedy součet 250 x 251 = 62 750 sudých čísel a 62 750,25 pro lichá čísla

Mike

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *