Nejlepší odpověď
Předpokládejme, že existuje kruh s pět ekvidistantních bodů A, B, C, D a E na jeho obvodu tak, že oblouk ABCDEA dokončí kruh.
Takže existuje pět stejných oblouků (AB, BC, CD, DE a EA), každý ve středu svírá úhel {(360⁰) / 5) = 72⁰ ve středu.
Nyní úhel „hvězdy“ ve vrcholu A není nic jiného než úhel podřízený obloukem CD v bodě A; což je {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Takže součet pěti „hvězdných“ úhlů na pěti vrcholech = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Odpověď
Tento problém závisí na tom, jak definujete „hvězdu“. Ale stejně začněme jednoduchými případy, pak by se měl ukázat obecný vzorec.
Pokud existují 3 body, můžeme mít pouze rovnostranný trojúhelník, takže úhel je 60 stupňů. (Zahrnuji i jako hvězda, definujte mou hvězdu později).
Pokud jsou 4 body, můžeme mít pouze čtverec, takže úhel je 90 stupňů.
Pokud existuje 5 bodů , můžeme mít pětiúhelník, kde úhel je 108 stupňů; nebo můžeme mít v otázce „hvězdu“, kde úhel je 36 stupňů.
Obecně pro n bodů můžeme rozdělit a kružnice do n stejných úseků oblouku. Pro 3 a 4 bodové případy lze „dokonalou symetrickou uzavřenou smyčku“ (definice hvězdy) nakreslit pouze spojením bodů s jejich sousedními body, v takovém případě řekněme jejich kroky (počet křížení oblouku v úsečce) k jsou 1. Dvě spojité úsečky budou tvořit úhel, takže vzorec tohoto typu „hvězdy“ (rovnostranný trojúhelník, čtverec, pětiúhelník, šestiúhelník atd.) je 180 * (n-2 * 1) / n stupňů.
Ve 3, 4 bodech ca Se, neexistuje jiné řešení než krok 1. V případě 5 bodů, kromě kroku 1, krok 2 vytvoří hvězdu 36 stupňů. Když je tedy krok k relativní prime k bodům n, můžeme mít vzorec úhlu
180 * (n-2 * k) / n stupňů.
Takže v 6 bodech , jediným řešením je k = 1, takže úhel je 120 stupňů.
V případě 7 bodů by k mohlo být 1, 2 nebo 3, když k = 1 je úhel 900/7 stupňů; když k = 2 je úhel 540/7 stupňů; když k = 3 je úhel 180/7 stupňů.
V případě 8 bodů může být k 1, nebo 3, když k = 1 je úhel 135 stupňů; když k = 3 je úhel 45 stupňů.