Nejlepší odpověď
Na tuto otázku zde můžeme najít 2 odpovědi.
- -1/12
- Nekonečno
Jasně \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n se liší. Ale proč tedy někteří lidé odpovídají -1/12? Protože oba jsou správné.
Toto je jeden z nejjednodušších příkladů konceptu zásadního pro pochopení fyzikálních teorií, regularizace. Číslo -1/12, zdánlivě absurdní, drží fyzickou interpretaci v takzvané kazimirské energii.
Když se pokusíme vypočítat fyzikální veličiny v kvantových teoriích, dostaneme často nekonečno. V tom okamžiku můžeme jednoduše zahodit odpověď, ale to by nás nikam nevedlo. Alternativně se můžeme pokusit z toho dát smysl. Abychom to udělali, pokusíme se vytáhnout konečnou odpověď z nekonečna. Tento proces se nazývá regularizace. Mohlo by existovat mnoho způsobů, jak systematicky regulovat divergentní řady (nebo integrály), ale důležitým bodem je, že všechny tyto metody by poskytly stejný konečný výsledek. Zejména výše uvedená částka by nám vždy dala -1/12. To samo o sobě naznačuje, že -1/12 není úplně absurdní.
Následující diskuse je odvozena hlavně od části 4.1 Birrela a Daviese – Kvantová pole v zakřiveném prostoru. Představím podstatu diskuse.
Předpokládejme, že uvažujeme bezhmotné skalární pole ve 2 dimenzích (jeden časový směr a jeden prostor). Bezhmotné skalární pole je velmi podobné elektromagnetickému poli, ale je mnohem jednodušší. Omezme také skalární pole na kružnici obvodu L. Nyní jsme definovali kvantový systém a můžeme se pokusit vypočítat různé veličiny, včetně minimální / základní energie tohoto systému. Ukázalo se, že energie základního stavu je E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Nyní můžeme tento integrál regularizovat a získat E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Důležité je, že to je přesně to, co dostaneme, pokud se pokusíme vypočítat rozdíl mezi energií základního stavu tohoto systému a jiného podobného systému, kde je skalární pole omezeno na přímce nekonečné délky (což v podstatě bere obvod kruh být nekonečný). Je zřejmé, že tato regulovaná energie je fyzikální veličina a ve skutečnosti ji lze měřit v laboratoři.
Došli jsme k závěru, že tvrzení \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 není neplatné.
Upravit:
Následuje jeden ze způsobů, jak můžeme součet legalizovat.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Výše uvedený limit se liší podle očekávání , ale lze jej zapsat takto
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Takto získáme z odchylného součtu regularizovanou konečnou část. Způsob, jak součet legalizovat, není v žádném případě jedinečný, ale konečná část součtu je vždy -1/12.
Odpověď
Co máme na mysli výrazem „je“ nebo „rovnost“? To je otázka, která je základem nejasností ohledně součtu všech přirozených čísel.
Konečné součty
„Nemám problém s konečnými součty:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
je dokonale dobře definován pro libovolnou sekvenci a\_i \ in \ mathbb R. Díky komutativitě a asociativitě sčítání to nezávisí ani na pořadí a\_i: můžete zaměnit sekvenci v jakékoli permutaci bez ovlivnění výsledku.
Nekonečné řady
Když se ale dostaneme k nekonečným sekvencím, (a\_i), co to nekonečný součet vůbec znamená? Co je to ?
Nejjednodušší, nejbezpečnější a výchozí význam je limit konečných součtů. To je definice nekonečného součtu:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Když tato řada absolutně konverguje , je vše v pořádku a dandy. Můžete:
- spolehnout se na výsledek;
- zamíchat pořadí výrazů;
- přidat nebo odečíst dvě takové řady; a dokonce
- přepněte pořadí dvou vnořených součtů.
Pokud je však řada divergentní nebo pouze podmíněně konvergentní hodnota:
- nemusí existovat;
- může záviset na pořadí; nebo
- může k definování vyžadovat „fantazijní metody“
a ani nemanipulovat s podmínkami sekvence ani nepřidá / odečte dvě takové sekvence.
Tak je tomu v případě součtu přirozených čísel, kde
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
To se jasně liší od + \ infty jako n \ do \ infty, takže standardní výchozí hodnota neexistuje. A to je tak daleko, kam by většina lidí měla jít.
Efektní metody
Pokud ne zcela, ani důvěrně pochopte přesný význam všeho, co je nad vámi, určitě byste neměli přejít k „efektním metodám“. Stejně tak byste měli zacházet s každým, kdo manipuluje s ne absolutně konvergentními sekvencemi, jako by se dělil nulou: výsledky jsou stejně spolehlivé.
Existuje dokonale slušná nekonečná řada s názvem Dirichlet Series :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Pokud jsou (a\_n) ohraničené, tato řada konverguje absolutně pro jakýkoli s \ in \ mathbb C, jehož skutečná část je přísně větší než jedna, \ Re (s)> 1. Pro \ Re (s) \ leq1 jsme na méně pevné zemi …
Analytické pokračování
Protože f ( s) je analytická funkce definovaná na otevřené poloviční rovině s \ Re (s)> 1 má v podstatě jedinečnou analytické pokračování do zbytku komplexní roviny. Pokračováním, když jsou všechna a\_n jedna, f\_1 (s), je funkce Riemann Zeta :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (y)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
kde \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x je funkce gama , analytické rozšíření faktoriální funkce.
Pro \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
Pro s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb nekonverguje
Pokud nyní chcete dělat něco, co se nazývá regularizace funkcí zeta , mohl tvrdit
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
ale všimněte si, že si pohráváte s tím, co znamená „rovnost“ a co „součet“.
To je v pořádku, ale pokud jste se dostali tak daleko, určitě si všimnete, kolik toho potřebujete vědět, abyste pochopili, co děláte. Mnohem víc, než obvykle získáte na videu Numberphile …