Nejlepší odpověď
„Součet všech reálných čísel“ není v běžné matematice definován a nejsem si jistý že by to mohlo být definováno, aniž by to způsobilo vážné problémy.
Prvním problémem je, že množina všech reálných čísel je nespočetná množina, tj. nelze ji dát do vztahu jedna k jedné s počítáním čísla (tj. 1, 2, 3, 4 atd.) Neexistuje konvenční definice součtu členů nespočetné množiny, ale existuje součet členů některých spočetných množin.
Předpokládejme, že máte spočetnou množinu {x1, x2, x3,…. xn,…}. Můžete definovat částečný součet Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, tj. Součet prvních n členů. Abyste se ujistili, že se při změně pořadí sady nic nepokazí, můžete definovat kladný dílčí součet Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Pokud existuje limita řady Pn (jak n jde do nekonečna), pak také existuje limita řady Sn (ale není stejná jako limita Pn, pokud všechna xn nejsou nezáporná). To znamená, že můžete říci, že součet všech čísel v naší spočetné množině je limitem řady Sn.
Takže pokud je množina {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, máte pěkně konvergentní řadu a součet členů množiny je 1. Pokud však máte všechna celá čísla (pozitivní záporná reklama), máte spočetnou množinu {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, ale částečné součty se nesbližují – jsou 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
K nedostatku konvergence celých čísel dochází navzdory skutečnosti, že každé kladné celé číslo n má odpovídající záporné celé číslo, takže byste si mysleli, že se zruší. Nezruší se však při každé alternativní částečné částce a nezruší se, pokud jste sadu vzali v jiném pořadí, např. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Skutečná čísla jsou horší, protože neexistuje definice součtu množiny, protože je nespočetné, a i kdyby nějaké bylo, změna pořadí, ve kterém jste je vzali, by poskytla jiný výsledek, i když pro každé kladné reálné číslo existuje odpovídající záporné reálné číslo.
Odpověď
Vyřešme to pomocí teorie skupin.
Nechť G (\ mathbb {R}, +) je skupina.
Má aditivní identitu tj. 0 a aditivní inverzní \ forall a \ v G, je -a.
Když přidáme všechny prvky této skupiny, máme páry čísla a jeho inverzní se navzájem ruší.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ v G ^ +} + \ sum\_ {a \ v G ^ -} + 0, Můžeme to napsat kvůli komutativní a asociativní vlastnosti této speciální skupina.
Rozdělili jsme množinu \ mathbb {R} na \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} a prvek identity.
Napíšeme výše uvedený výraz jako
= X + Y + 0
Jako 0 je identita, takže
výše uvedený výraz dává
= X + Y
Nyní \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implikuje X = Y ^ {- 1}
\ implikuje Y = -X
\ implikuje X + Y = prvek identity G = 0.
Proto je součet všech reálných čísel nula.