Jaký je vzorec nebo zkratka k vyhledání součtu faktoriálů?


Nejlepší odpověď

Bohužel neexistuje žádná jednoduchá metoda. Existují vzory pro jeho koncové číslice, i když je to jiné téma.

Přesto je zde vzorec: Faktoriální součty – od Wolfram MathWorld

=

kde

je exponenciální integrál ,

je E n -funkce ,

je skutečná část z,

je gamma funkce a i je imaginární číslo .

Odpověď

Trik na problémy s děsivým číslem, jako je tento, je t o najít vzory.

Nejprve se musíme zbavit všech těch ošklivých čísel zapojených do obřích faktoriálů a exponentů. Jelikož se díváme pouze na poslední číslici, žádná minulá číslice (desítky, stovky, atd.) To neovlivní. (Je to proto, že všechny ostatní číselné hodnoty jsou násobky 10, ale protože 10> 1 a každý násobek 10 končí číslicí 0, nemá to vliv na číslici jednotek.)

Naše nejlepší sázka je začít hledáním číslic jednotek daného čísla bez exponentu (pouze základny). Protože prvních pár faktoriálů se dá snadno vypočítat, děláme to. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320… Proč stále končí nulou?

Je to kvůli faktoriální primární faktorizaci < / rozpětí>. Jak víte, 10 = 5 \ cdot 2. Pokud má primární faktorizace něčeho 5 a 2, pak je to násobek deseti (podle distribuční vlastnosti). Protože poslední číslice čísla v základní desítce (to, co používáme) je v podstatě část, která není dělitelná 10, v násobcích 10 je to 0.

Nyní se znovu podíváme na faktoriály .

1 = 1

2 = 1 * 2

3 = 1 * 2 * 3

4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3

5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5

Protože faktoriál cokoli vyšší než 5 bude násobkem 5!, víte, že to bude mít v hlavní faktorizaci 2 a 5, takže všechny skončí 0. Hurá! Nyní se musíme podívat pouze na 1 !, 2 !, 3! A 4 !. Jak jsme již vypočítali, jejich součet je 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, jehož poslední číslice končí číslem 3.

Nyní máme problém 3 ^ 33. Snažíme se znovu hledat vzory. Podívejme se na některé pravomoci 3!

3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….

Hmmmm. Cykluje: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 … (Poznámka: Nevím, proč se to stane. Někdo mi řekněte, prosím!) A každý exponent, který je násobkem 4, vede k končící na 1, jak vidíte. 32 je násobkem 4, takže 3 ^ 32 končí na 1. Nyní se jednoduše podíváme na další číslo v cyklu: 3! Proto končí na 3.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *