Nejlepší odpověď
Odvození tohoto součtu je podobné jako pro
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Nechť
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Protože sčítání je komutativní, můžeme psát S obráceně takto
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Přidání těchto dvou reprezentace člen po členu nám dává
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ dots (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Odtud zjevně vyplývá, že
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Toto je známý výsledek, který lze dokázat indukcí, což provedu hned teď. K tomu musíme ukázat, že
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Poznámka: Jako zkratku pro prohlášení hypotézy používám H\_ {0})
Chcete-li ukázat, že H\_ { 0} platí prostřednictvím indukce, musíme ukázat, že rovnost platí pro základní případ, n = 1, a indukční případ, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Základní případ je zřejmý, protože 1 = 1 ^ {2} = 1, což nám ponechává indukční případ.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vidíme, že rovnost platí pro k + 1, čímž což dokazuje, že H\_ {0} je skutečně pravda. Můžeme tedy definitivně tvrdit, že naše derivace (6) je skutečně správná.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Odpověď
Podívejme se a uvidíme. Kdokoli může pozorovat alespoň několik prvních instancí, že?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Poznáváte nyní čísla napravo?
1,4,9,16,25, \ ldots
Ano! jsou perfektní čtverce. 1 \ krát 1, 2 \ krát 2, 3 \ krát 3, 4 \ krát 4 atd.
Nyní máme domněnku. Pojďme to otestovat:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ano! Šest nejmenších lichých čísel přidává až 6 ^ 2, přesně jak jsme předpovídali. Můžete zkusit několik dalších: funguje to.
Pokud jsme fyzici, zastavíme se zde. Provedli jsme pozorování, vytvořili jsme hypotézu, testovali jsme naši hypotézu experimentálně jednou a dvakrát a stokrát, vždy to funguje, hotovo. Naše teorie je správná, dokud ji experiment nevyvrátí.
Ale my jsme matematici, nejsme. Vyžadujeme důkaz. A existuje spousta přísných důkazů tohoto pěkného malého faktu.
Ale existuje také křišťálově čistý vizuální důkaz. Tady je:
EDIT: mnoho lidí požadovalo přísný důkaz. Zde je relativně jednoduchý důkaz, který lze odvodit z tohoto vizuálního důkazu.
Všimli jsme si, že lichá čísla jsou jen rozdíly mezi po sobě následujícími čtverci, například:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
atd. Když je tedy sčítáme, vše se zruší, kromě posledního čtverce:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Pojďme to tedy nyní formálně napsat pro libovolný počet lichých čísel. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
a tedy součet prvních n lichých čísel, což je
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
se rovná
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED