Nejlepší odpověď
Ah! Toto je pěkné pozorování a naučí nás to, že číselné systémy typu místo-hodnota umožňují, aby některá čísla měla více reprezentací s různými číslicemi.
Navrhuji, abyste se pokusili najít rozdíl mezi těmito dvěma číselnými výrazy ( tj. ukažte, že je mezi nimi číslo).
Nemůžete to opravdu udělat obvyklým způsobem, protože neexistuje poslední 9 číslice, která by začala odečítat od nejméně významné číslice , je tady? Je tomu tak proto, že pokračují navždy.
V podstatě však můžete začít od nejvýznamnější číslice a nadále ji „půjčovat“ doprava, nikoli „půjčovat si“ zleva.
Takže pokud se podíváme na několik prvních číslic, máme
\ begin {align *} & 1,00000 \ dots \\ & 0,99999 \ dots \ end {align *}
„Zapůjčení“ napravo znamená, že část horního čísla bude mít deset desetin (což je!). Odečtením devíti desetin zanecháme jednu desetinu. Ale pak to můžeme „zapůjčit“ jako deset setin a od toho odečíst devět setin a pokračovat donekonečna.
A to bude pokračovat donekonečna. Neexistuje místo, kde by se proces zastavil a zanechal za sebou 1 číslici, protože (v určitém smyslu) k dokončení tento (nekonečný) proces by po sobě zanechal pouze nuly, protože postupoval „úplně“ doprava.
Existují i jiné – přísnější a elegantnější – způsoby, jak dokázat, že 0. \ dot {9} = 1.
Další způsob, jak o tom přemýšlet, je zbavit se břemene, které je desetinnou čárkou b ase systém (základna deset) a počítat v ternární (základna tři). Ternární je systém, kde počítáme 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ tečky. Čísla v ternárních nemají desetinná místa, ale ternární body. Na ternární úrovni máme \ frac {1} {3} = 0,1 a \ frac {2} {3} = 0,2.
Ale pak zlomek \ frac {1} {2} = 0. \ tečka {1} je nekončící! Nemluvě o tom, že v ternárních případech se neopakující 0. \ dot {2} = 1, protože to je přesně dvojnásobek předchozího výrazu (pokud zaměníte pravou a levou stranu rovnosti, musí to tak být).
To je skvělá a mocná věc na rovnosti. Protože víme, že v základu ten \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, pak \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, což dokazuje, že stejné číslo může mít více reprezentací ve stejném číselném systému místo-hodnota.
Morálka příběhu spočívá v tom, že se nenecháme zmást tím, čemu říkáme věci, ale místo toho se zaměříme na to, co jsou a co dělají .
Odpověď
Ano, jeden děleno tři je možné v polích reálných nebo racionálních čísel a rovná se jedné třetině.
není možné reprezentovat jednu třetinu pomocí konečná desetinná poziční notace. Chcete-li použít nekonečné vyjádření, jako je to naznačené tečkami v 0.333 \ dotsc, měli byste mít nějaký formální způsob, jak říct, co to znamená. Matematici mají takovou formální specifikaci, nazývanou limity, ve které je 0,999 \ dotsc = 1.
Všimněte si, že desetinné reprezentace čísla není samotné číslo. Stejně jako nejste svým jménem, přezdívkou ani žádným z mnoha ID. Čísla mají spoustu reprezentací, včetně mnoha různých základů, slov, výrazů atd. Reprezentace pro jednu třetinu zahrnují:
- 0,333 \ dotsc (desítkově)
- 0,1\_3 (ternární)
- \ frac13
- 20 „(minuty – jedna třetina hodiny)
- 120 ° (stupně – jedna třetina kruhu)
- \ frac26
a tak dále.
Skutečné číslo jedna třetina sama o sobě zůstává stranou všech těchto reprezentací. Je definována svou vlastností rozdělení na jednu část třemi. Jinými slovy je to číslo, které dává jednu, když se vynásobí třemi. Vše ostatní je pouze průběžná notace, která, jak jste si všimli, je v desítkové soustavě trochu nemotorná.