Nejlepší odpověď
Pouze když θ = 0.
Je geometricky zřejmé, že pro jakékoli θ mezi 0 a π / 2, 2sinθ je délka tětivy oblouku radiánové míry 2θ v kruhu o poloměru 1. A protože tětiva je kratší než oblouk, musíme mít sinθ <θ pro všechna taková θ. A samozřejmě, pokud θ> 1, pak sinθ . Nakonec sinθ <θ pro všechna kladná θ znamená sinθ> θ pro všechna záporná θ.
I když je θ měřeno ve stupních, sinθ se nemůže rovnat θ, pokud θ = 0, jednoduše proto, že radiánská míra oblouku stupňů θ je πθ / 180, což je mnohem méně než θ.
Odpověď
Myslím, že lepší otázka je, může \ cos \ theta rovná 2?
Pravděpodobně víte, že nemůže, pokud \ theta je úhel trojúhelníku v rovinné geometrii, protože přepona pravého trojúhelníku je delší než délky jeho nohou a sousední noha nemůže být dvakrát delší než přepona. Podobně pokud \ theta je libovolné reálné číslo, protože \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Pokud tedy \ theta \ in \ mathbb R, pak -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, proto \ cos \ theta nemůže být 2.
Tvrdíme však, že pokud z \ in \ mathbb C, je možné pro \ cos z = 2. Komplexní analytická definice kosinu je ve skutečnosti \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, a tak skončíme s kvadratickou rovnicí, na kterou je snad většina z nás zvyklá .
Chceme vyřešit \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Když vezmeme w = e ^ {iz}, stane se to \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, nebo ekvivalentně w ^ 2-4w + 1 = 0. Potom použijeme kvadratický vzorec:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Vzhledem k tomu, že w = e ^ {iz}, můžeme vzít přirozený protokol, ale musíme být opatrně : stejně jako a ^ 2 = b ^ 2 neznamená a = b (znamená pouze a = \ pm b), e ^ a = e ^ b neznamená a = b, pouze znamená a = b + 2 \ pi ik pro některé k \ in \ mathbb Z. Proto,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Pak jednoduše vynásobíme -i, abychom získali hodnotu z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Můžeme konečně přepsat naše řešení s tím, že 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, a tedy \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Chování \ cos z jako komplexní analytické funkce napodobuje trigonometrickou funkci v reálném směru a hyperbolický kosinus v imaginárním směru; ve skutečnosti možná víte, že \ cos (iz) = \ cosh z a \ sin (iz) = i \ sinh z; a kombinace těchto faktů se vzorcem kosinového součtu znamená \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, s x, y \ in \ mathbb R. To poskytuje alternativní způsob, jak vypočítat Odpovědět. Philip Lloyd má o tom skvělý diagram: odpověď Philipa Lloyda na Proč se nemůže „t cos theta rovnat 2?