Nejlepší odpověď
Pokud se to pokusím zapojit do mé kalkulačky, dostanu něco ve vědecké notaci, protože odpověď je příliš velká na to, aby ji kalkulačka mohla zobrazit. Z praktického hlediska mi kalkulačka ukáže začátek čísla a já se starám jen o konec čísla.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Vím, že číslo na konci dostane nulu, pokud má číslo 10 jako faktor. Například 10 je faktor 50, 120 a 1234567890. Musím tedy zjistit, jak je kdykoli 10 faktorem při expanzi 200!
Ale od 5 × 2 = 10, musím počítat se všemi produkty 5 a 2. Podíváme-li se na faktory výše uvedené expanze, existuje mnohem více čísel, která jsou násobky
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
než jsou násobky
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Tedy pokud si vezmu všechna čísla s 5 jako faktorem, budu mít více než dost sudých čísel, abych se s nimi spároval, abych získal faktory 10 (a další koncové nuly na mém faktoriálu). Takže zjistit, kolikrát 10 je faktor, opravdu si musím dělat starosti, kolikrát je 5 faktorem ve všech číslech od 1 do 200.
Dobře, kolik násobků 5 existuje v číslech od 1 do 200? K dispozici je 5, 10, 15, 20, 25, …
Sakra; pojďme to udělat krátkou cestou: 200 ÷ 5 = 40 , takže existuje čtyřicet násobků 5 mezi 1 a 200.
Bude tedy jeho odpověď 40 .
Ale počkejte: 25 je 5 × 5, takže každý násobek 25 má další faktor z 5 , které musím zaúčtovat. Kolik násobků 25 je mezi 1 a 200?
Od 200 ÷ 25 = 8 , existuje osm násobků 25 mezi 1 a 200.
A počkejte minutu, existuje také 125, což je 5x5x5. Takže k počtu nul musíme přidat 1.
Takže nyní je celkový počet nul = 40 + 8 + 1, tedy 49.
Takže za 200! existuje 49 koncových nul. A nekontrolujte to kalkulačkou, protože kalkulačka to nedokáže.
Odpovědět
Koncové nuly jsou posloupností 0 „s v desítkovém vyjádření čísla, po které žádné další číslice nenásledují. Lze to vyřešit dvěma způsoby –
- Podívejme se nejprve na to, jak se tvoří koncové nuly. Koncová nula se vytvoří, když se násobí 5 s násobek 2. Nyní musíme pouze spočítat počet 5 a 2 v násobení.
Každá dvojice 2 a 5 způsobí koncovou nulu. Protože máme pouze 24 5, můžeme vytvořit pouze 24 párů 2 a 5, takže počet koncových nul ve 100 faktoriálu je 24 .
2. Na otázku lze odpovědět také pomocí následujícího jednoduchého vzorce:
Výše uvedený vzorec nám dává přesný počet 5 s v n! protože se postará o všechny násobky 5 w které jsou menší než n. Nejen, že se postará o všechny násobky 25, 125 atd. (Vyšší mocniny 5).
Tip: Místo dělení 25, 125 atd. (vyšší mocniny 5); bylo by mnohem rychlejší, kdybyste rekurzivně dělili 5.
Použijme to k vyřešení několika příkladů:
Q) Jaký je počet koncových nul na 100! ?
[100/5] = 20
Nyní můžeme dělit 100 na 25 nebo výsledek ve výše uvedeném kroku, tj. 20 na 5.
[ 20/5] = 4. Je to méně než 5, takže tu zůstaneme.
Odpověď je – 20+ 4 = 24 (přímá odpověď během několika sekund)
Q) Jaký je počet koncových nul za 200! ?
[200/5] = 40
Nyní můžeme rozdělit 200 na 25 nebo výsledek ve výše uvedeném kroku, tj. 40 na 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Je to méně než 5, takže se zde zastavíme.
Odpověď je – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Jaký je počet koncových nul v roce 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Je to méně než 5, takže se zde zastavíme.
Odpověď zní – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Máte-li jakékoli dotazy, neváhejte se zeptat v sekci komentářů.