Nejlepší odpověď
Nechť spočítá výskyt číslice 2 nejprve v 1 až 10. Existuje pouze 1, jmenovitě pro číslo 2.
Dále vezměte dalších deset čísel a spočítejte v nich výskyt číslice 2 a dostaneme 2, jmenovitě v číslech 12 a 20.
Stejným způsobem se vyskytuje 10krát v číslech 21 až 30, protože se vyskytuje dvakrát v 22.
Pokračujeme stejným způsobem pro následující čísla až do, včetně 120, zjistěte, že existuje jednou za každých deset čísel plus ještě jednou, celkem 10.
Mezi 121 a 130 se vyskytuje znovu 10krát, protože se znovu vyskytuje dvakrát za 122.
Od 131 na 190 se číslice 2 vyskytuje jednou za 10 čísel, celkem 6.
A v posledních deseti číslech (191–200) se vyskytuje dvakrát.
Součet všech výskytů zjistíme, že číslice 2 se vyskytuje 41krát, a to v číslech 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 a 200.
Odpověď
Ukážu vám dvě pravidla, může jich být mnoho.
Mezi nimi je první jeden snadný a druhý matematický a vědecký:
Proces 1:
Pokud uděláme n ^ 5, poslední číslice výsledku bude vždy stejná jako poslední číslice n.
Nyní, když přidáme (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Poslední číslice přijde jako poslední číslice sčítání (1 + 2 + 3 + … .. + 99) .
Nyní,
Poslední číslice sčítání (1 + 2 + 3 + … .. + 99)
= Poslední číslice \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Poslední číslice \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Takže poslední číslice přidání,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) bude Zero.
Proces 2:
Víme, že
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Takže pro (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Odpověď bude,
161708332500
Takže poslední číslice je nula .
PS: Víme, že 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a je napsáno matematicky jako \ Sigma n ^ a. Obecný vzorec pro mocninový součet je známý jako Faulhaberův vzorec (také známý jako Bernoulliho vzorec):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ podtržení {k-1} n ^ {p-k + 1}
kde, \ textbf {p} ^ \ podtržení {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} se nazývá klesající faktoriál a B\_ {k} jsou Bernoulliho čísla.
Pomocí tohoto vzorce můžeme odvodit jakýkoli konkrétní vzorec pro mocninu součet, jak je uveden níže:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Děkuji za přečtení mé odpovědi. Doufám, že to pomůže.