Nejlepší odpověď
Je dáno, že
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ krát x \ krát \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nyní hodnota x ^ 2 bude – \ omega a – \ omega ^ 2
Kde
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
A
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Vezměme si x ^ 2 bude – \ omega
Nyní je daný výraz \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Nyní si vzpomeňte, že \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Takže
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ krát {\ omega}) + (1 \ krát {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Takže odpověď je 0
=========================================== ================== ===
Líbila se vám moje odpověď? Chcete si přečíst další psaní, jako jsou věci, které vás bavily výše? Prosím, sledujte mě a hlasujte pro tuto odpověď.
Odpověď
Tento problém je o něco jednodušší, než se na první pohled zdá, a je poučením o tom, jak užitečné může to být hledání – a pak zneužití – symetrie. Problém nevyžaduje řešení žádného kalkulu, i když pokud nějaký kalkul znáte, tento přístup funguje velmi dobře. Klíčem k řešení bez počtu je pozorování, že pokud stejná hodnota minimalizuje g (x) a h (x), pak také minimalizuje g (x) + h (x). Vidíte, proč je to pravda?
Jak můžeme tuto myšlenku použít na tento problém?
Zvažte g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Tato funkce je symetrická kolem x = 3,5 – půli cesty mezi hodnotami +3 a +4, které jsou přidány k x – protože ji můžeme zapsat jako g (x) = ((x + 3,5) -0,5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Necháme-li y = x + 3,5, z této symetrie vyplývá, že g (y) musí být sudý polynom, proto obsahuje výrazy s pouze sudými mocninami y. Jelikož se jedná o sudý polynom, binomická věta nám říká, že všechny jeho koeficienty musí být kladné. (Ve skutečnosti je to g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, ale pro dokončení argumentu ani nemusíme tyto tři výrazy výslovně najít.) Protože y = 0, jasně každý minimalizuje ze součtů g (y) jednotlivě, protože každý je sudá síla y s kladným koeficientem, naše počáteční pozorování naznačuje, že y = 0 musí také minimalizovat g. Zjistili jsme, že x = -3,5 je jedinečný minimalizátor g (x).
Dále zvažte h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Tato funkce je o něco jednodušší než g, protože je kvadratická a téměř identický argument naznačuje, že x = 3,5 je také jedinečným minimalizátorem h (x). Využijte symetrii k jejímu zápisu jako h (x) = ((x + 3,5) -3,5) ^ 2 + ((x + 3,5) +3,5) ^ 2. Pak si všimněte, že h (y) je sudý polynom (má tedy jen sudé síly y), a pomocí binomické věty usoudte, že má pouze kladné koeficienty. Ve skutečnosti h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, ale opět to nemusíme výslovně hledat. Protože y = 0 minimalizuje všechny členy, které jsou přidány k produkci h (y), víme, že y = 0 minimalizuje h (y), a dospěli jsme k závěru, že x = -3,5 je jedinečný minimalizátor h (x).
Nakonec, protože x = -3,5 je jedinečný minimalizátor obou g (x) a h (x), je to jedinečný minimalizátor jejich součtu a problém je vyřešen.