Proč je [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math] pravdivá?


Nejlepší odpověď

Definice stopa, protože součet diagonálních vstupů matice je snadno naučitelný a snadno pochopitelný. Nicméně (a priori) nemá žádnou pěknou geometrickou nebo jinou interpretaci – vypadá to jen na výpočetní nástroj. Útok z tohoto pohledu v podstatě znamená, že jste uvízli ve výpočetních důkazech faktů jako tr (AB) = tr (BA).

Nejsou samy o sobě „t špatné . Jsou snadno srozumitelné a určitě by se mělo ukázat, když se někdo zpočátku učí lineární algebru. Existuje hlubší důvod, proč tr (AB) = tr (BA), ale je to docela abstraktní a zejména vyžaduje pochopení tenzorového produktu.

Zvažte prostor lineárních operátorů z vektorů prostor V zpět k sobě. Pokud zvolíme konkrétní sadu souřadnic, budou tyto operátory vypadat jako čtvercové matice. Budeme se však snažit co nejvíce vyhnout souřadnicím.

Označíme V ^ * duální prostor V, což je prostor lineárních funkcionálů na V — tj. Lineární mapy \ lambda takže když zapojíme vektor v, \ lambda (v) je skalární.

Pokud vezmeme tenzorový součin V ^ * \ otimes V, je izomorfní s prostorem lineárních operátorů V \ rightarrow V. Izomorfismus funguje takto: pokud w \ ve V, pak (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Můžeme také přijít na to, jak v tomto izomorfismu funguje kompozice – – připomínáme, že složení lineárních map je totéž jako vynásobení odpovídajících matic.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

proto

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Nyní, jak stopa přijde? Existuje přirozená mapa z V ^ * \ otimes V do pole skalárů, která funguje takto: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Úžasné je, že pokud vše zpracujete v souřadnicích, je to stopa.

To ukazuje, že stopa, zdaleka není abstraktním výpočetním nástrojem, je vlastně základní a přirozená mapa v lineární algebře . Zejména výše uvedená analýza automaticky poskytuje důkaz, že tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Ale proč je silnější tvrzení tr (AB) = tr ( BA) pravda? Pojďme je spočítat oba.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Na druhou stranu:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , takže AB odpovídá spárování \ lambda\_1, \ lambda\_2 a v\_1, v\_2 jedním způsobem a BA odpovídá jejich spárování jiným způsobem, ale jakmile vezmeme stopu, spárují se znovu a v tom okamžiku přestane existovat jakýkoli rozdíl.

Nádhera.

Odpověď

Důkaz \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) je jednoduchý výpočet:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Nejsem si jistý, jestli to odpovídá na otázku „proč“ ve smyslu „Ano, Vidím, že výpočet funguje, ale proč ? “

Není často možné vysvětlit „proč“ je něco pravdivé. Tady je možná užitečné pozorovat, že AB a BA ve skutečnosti sdílejí mnohem víc než stopu: mají stejný charakteristický polynom .

Dalším užitečným poznatkem je, že pokud A nebo B nejsou singulární (invertibilní), pak AB a BA jsou podobné matice, jednoduše proto, že

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Podobné matice mají jasně stejná vlastní čísla, takže zejména mají stejnou stopu. Můžeme argumentovat kontinuitou (nad poli, kde to dává smysl), abychom dospěli k závěru, že totéž platí i pro singulární případ.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *