Nejlepší odpověď
Definice stopa, protože součet diagonálních vstupů matice je snadno naučitelný a snadno pochopitelný. Nicméně (a priori) nemá žádnou pěknou geometrickou nebo jinou interpretaci – vypadá to jen na výpočetní nástroj. Útok z tohoto pohledu v podstatě znamená, že jste uvízli ve výpočetních důkazech faktů jako tr (AB) = tr (BA).
Nejsou samy o sobě „t špatné . Jsou snadno srozumitelné a určitě by se mělo ukázat, když se někdo zpočátku učí lineární algebru. Existuje hlubší důvod, proč tr (AB) = tr (BA), ale je to docela abstraktní a zejména vyžaduje pochopení tenzorového produktu.
Zvažte prostor lineárních operátorů z vektorů prostor V zpět k sobě. Pokud zvolíme konkrétní sadu souřadnic, budou tyto operátory vypadat jako čtvercové matice. Budeme se však snažit co nejvíce vyhnout souřadnicím.
Označíme V ^ * duální prostor V, což je prostor lineárních funkcionálů na V — tj. Lineární mapy \ lambda takže když zapojíme vektor v, \ lambda (v) je skalární.
Pokud vezmeme tenzorový součin V ^ * \ otimes V, je izomorfní s prostorem lineárních operátorů V \ rightarrow V. Izomorfismus funguje takto: pokud w \ ve V, pak (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
Můžeme také přijít na to, jak v tomto izomorfismu funguje kompozice – – připomínáme, že složení lineárních map je totéž jako vynásobení odpovídajících matic.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
proto
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Nyní, jak stopa přijde? Existuje přirozená mapa z V ^ * \ otimes V do pole skalárů, která funguje takto: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Úžasné je, že pokud vše zpracujete v souřadnicích, je to stopa.
To ukazuje, že stopa, zdaleka není abstraktním výpočetním nástrojem, je vlastně základní a přirozená mapa v lineární algebře . Zejména výše uvedená analýza automaticky poskytuje důkaz, že tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).
Ale proč je silnější tvrzení tr (AB) = tr ( BA) pravda? Pojďme je spočítat oba.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
Na druhou stranu:
tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah , takže AB odpovídá spárování \ lambda\_1, \ lambda\_2 a v\_1, v\_2 jedním způsobem a BA odpovídá jejich spárování jiným způsobem, ale jakmile vezmeme stopu, spárují se znovu a v tom okamžiku přestane existovat jakýkoli rozdíl.
Nádhera.
Odpověď
Důkaz \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) je jednoduchý výpočet:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
Nejsem si jistý, jestli to odpovídá na otázku „proč“ ve smyslu „Ano, Vidím, že výpočet funguje, ale proč ? “
Není často možné vysvětlit „proč“ je něco pravdivé. Tady je možná užitečné pozorovat, že AB a BA ve skutečnosti sdílejí mnohem víc než stopu: mají stejný charakteristický polynom .
Dalším užitečným poznatkem je, že pokud A nebo B nejsou singulární (invertibilní), pak AB a BA jsou podobné matice, jednoduše proto, že
AB = B ^ {- 1} (BA ) B.
Podobné matice mají jasně stejná vlastní čísla, takže zejména mají stejnou stopu. Můžeme argumentovat kontinuitou (nad poli, kde to dává smysl), abychom dospěli k závěru, že totéž platí i pro singulární případ.