Nejlepší odpověď
Kvůli samotným definicím \ sin x, \ cos x a \ tan x.
V pravoúhlém trojúhelníku s ostrým úhlem x jsme definovali trigonové poměry následovně:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {opakovaný}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {sousední}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {naproti }} {\ text {přilehlý}}
Z toho dostaneme zkratku SOH-CAH-TOA
Každopádně, pokud vezmeme výraz pro \ tan x a rozdělíme čitatele a jmenovatele podle \ text {hypotenuse} dostaneme:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {opačně} / \ text {hypotenuse}} {\ text {sousední} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Odpověď
Začněme obrázkem (kredit: Pravý trojúhelník – z Wolfram MathWorld )
Zaměříme se na levý, ale pravé dvě jsou v trigonometrii velmi důležité.
Použiju kon věří, že úhel opačné strany a je \ alfa a úhel opačný než strana b je \ beta.
Připomeňme: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Pojďme nyní rozdělit sínus na kosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Totéž můžeme udělat s \ beta. Obecně můžeme udělat stejný trik s libovolným pravým trojúhelníkem, takže to musí být vnitřní vlastnost trigonometrických funkcí. Víme, co jsou sinus a kosinus, díky tomu, jak jsme je definovali, jako ty konkrétní poměry.