Nejlepší odpověď
1. Kořeny čísel.
Na základní škole nám bylo doporučeno, že druhá odmocnina čísla je ve skutečnosti otázkou. Jaké číslo se samo vynásobí, tolikrát, aby se získalo číslo, je kořen. Např. druhá odmocnina z 9 = 3, protože 3 × 3 = 9 čtvrtá odmocnina z 16 = 2, protože 2 × 2 × 2 × 2 = 16 atd. Povaha kořenů je však podstatnější, protože její aplikace rozšířila číselný systém z racionálního na reálný. Jinými slovy, pro použití operace hledání kořenů bylo nutné rozšířit číselný systém tak, aby byl uzavřen pod operace „zakořenění“ zavedením iracionálních čísel. Racionální čísla jsou uzavřena pro +, -, ×, ÷, ale ne pro √. Např. √2 nelze vyjádřit jako poměr. Pythagorovci to věděli a měli se pokusit supperess it, as it not square, ha, ha, with their world view.
2. Roots of equations
Povaha, o které nám bylo řečeno, byla, když křivka prořízne Osa x. K tomu může dojít jednou, dvakrát, třikrát v závislosti na polynomu. Byla navržena pravidla pro jejich výpočet, které jsme se všichni naučili. Poté byla položena otázka. Co se stane, když křivka neřízne osu x? Pak samozřejmě máme imaginární kořen a k tomu došlo, když b ^ 2-4ac . To vyžadovalo, aby bylo další rozšíření číselného systému needed.Tak byl vyvinut komplexní číselný systém, který obsahuje kořeny záporných čísel. Povahou „kořenů“ tedy bylo rozšíření číselného systému nad racionální čísla.
Odpověď
Představuji si, že máte na mysli „přirozený“ ve smyslu „přirozeného izomorfismu“. Pokud je něco „přirozené“ nebo „kanonické“, znamená to zhruba, že to není výsledkem svévolné volby. Určuje to přirozeně jeho kontext.
Jedním z motivujících příkladů „přirozené“ věci je izomorfismus mezi konečným dimenzionálním vektorovým prostorem V a jeho dvojitým duálním V ^ {\ vee \ vee}. Izomorfismus přebírá v \ ve V na E\_v \ ve V ^ {\ vee \ vee}, kde E\_v (\ phi) = \ phi (v) pro \ phi \ ve V ^ \ vee. Pošlete vektor v na mapu E\_v, která vyhodnotí duální vektory na v. To je přirozené; nebyly provedeny žádné svévolné volby, vypadlo to přímo z definic a vztahů zúčastněných objektů.
Mezi těmito dvěma prostory nebo kurzem je další izomorfismus, ale tento je „správná volba“. Jakákoli jiná volba by byla nepřirozená; například můžete poslat v na E\_ {A (v)}, kde A: V \ až V je libovolný lineární automatický tvar V. Ale … proč? Neexistuje žádný důvod, proč byste museli zavádět A, protože máte přirozenou volbu v \ mapsto E\_v přímo před sebou. Doufejme, že rozdíl mezi „přirozeným“ a „nepřirozeným“ izomorfismem je dostatečně jasný.
Na druhou stranu neexistuje žádný přirozený izomorfismus L: V \ až V ^ \ vee. Konstrukce izomorfismu vyžaduje libovolné volby. Mohl jsem zvolit základnu b\_1, \ dots, b\_n a deklarovat L (b\_i) jako duální vektor, který b\_i převezme na 1 a všechny ostatní základní vektory na 0. To definuje naprosto jemný izomorfismus, ale mohl bych udělat přesně to samé věc s jakýmkoli jiným základem a získat jiný, stejně platný izomorfismus. Neexistuje způsob, jak si vybrat přirozeným způsobem od Boha *.
Toto je velmi hrubý, neformální popis. Může to (a je) upřesněno teorií kategorií: funktory a přirozené transformace poskytují správný způsob, jak přemýšlet o tom, co dělá v určitém kontextu něco „přirozeného“. Udělal jsem vše, co bylo v mých silách, abych sdělil svou vlastní intuici pro tento koncept, což by podle mého názoru stačilo, dokud nebude člověk připraven na (cate) krvavé podrobnosti.
* Bez ohledu na teologii / ontologii matematiky