Bedste svar
Først skal vi se på modulet (eller nummer vi forsøger at dele med). I dette tilfælde, at “s 1818. Derefter indsætter du 1818 i Eulers totientfunktion for at få ϕ (18) ϕ (18). Specielt for alle heltal nn har vi
ϕ (n) = n∏p | n (1−1p), ϕ (n) = n∏p | n (1−1p),
hvor produktet går på tværs af alle unikke primære faktorer for nn. Så i dette tilfælde
ϕ (18) = (18) (1/2) (2/3) = 6.ϕ (18) = (18) (1/2) (2/3) = 6.
Ok, så næste trin er Eulers teorem , der siger, at for ethvert andet heltal aa, der er relativt primært til nn, har vi, at aa til ϕ (n) ϕ (n) magten efterlader en rest på 11 når divideret med nn. Det vil sige
aϕ (n) ≡1 (modn). Aϕ (n) ≡1 (modn).
Da 1717 faktisk er relativt primær til 1818, ved vi 176176 blade en påmindelse om 1. Dette betyder, at vi bare kan fortsætte med at dele 176176 ud af 1720017200 uden at ændre resten. En anden måde at sige dette på er, at 17 til enhver magt, som “et multiplum af 6, vil efterlade en rest på 1. Så i sidste ende, da 200 er 2 mere end et multiplum af 6, ved vi, at 17200≡172 (mod18) .17200≡172 (mod18).
Dette gør problemet meget enklere – vi er næsten der! En genvej her for at afslutte problemet er at indse, at 1717 efterlader en rest af -1-1, når den divideres med 1818 (dvs. 17≡ -1 (mod18) 17− -1 (mod18)), så 172172 efterlader en rest af (- 1) 2 = 1. (- 1) 2 = 1.
Så vores svar er 1 . Næste gang du har et problem med resten med en stor effekt, kan du bruge denne pæne generaliserede løsning og lyde smart på samme tid :). Hvis du ikke har set modmod-notationen før, se Modular aritmetic .
PS Du har muligvis hørt om et specielt tilfælde af denne sætning kaldes Fermats lille sætning , som fungerer, når du har et modul, der “er et primtal (ikke tilfældet her). Teoremet siger, at for enhver primær pp og heltal aa, der ikke er et multiplum af pp,
ap − 1≡1 (modp) .ap − 1≡1 (modp).
Dette er et interessant trick, men det er dybest set det samme som “ovenfor, da ϕ (p) = p − 1ϕ (p) = p − 1 for enhver primær pp. Denne type spørgsmål bliver virkelig enkle, hvis du forstår begrebet negative rester . Prøv altid at reducere udbyttet til 1 eller -1.
Rem [17 ^ 200/18] = Rem [(-1) ^ 200/18] = Rem [1/18] = 1
Svar
Nødvendig vigtig baggrund for at løse problemet :
Vi ved, at resten, der opnås, når r deler pq, er et produkt af resten, der opnås, når r deler p og q separat. Dette kaldes lemma for resten. Du kan bevise det ved Euclids divisionssætning.
Løsningen
17 når den divideres med 18 efterlader resten -1 (det er praktisk at arbejde med -1 end 17)
Anvendelse af resten lemma til 17 × 17 × 17 … × 17 (2000 gange) divideret med 18 vil blive opnået, når individuelle rester multipliceres, dvs. -1 × -1 .. × -1 (2000 gange), dvs. resten er 1 \ sorte kvadrat
Hvis det var 17 hævet til et ulige tal, ville resten være -1 eller 17 .