Bedste svar
Ah! Dette er en god observation, og hvad den lærer os er, at talværdisystemer med pladsværdi tillader, at nogle tal har flere repræsentationer med forskellige cifre.
Jeg foreslår, at du prøver at finde forskellen mellem de to numeriske udtryk ( det vil sige, at der er et tal imellem dem).
Du kan ikke rigtig gøre det på den sædvanlige måde, for der er ingen sidste 9 cifre til at begynde at foretage subtraktionen fra det mindst betydende ciffer , er der? Det skyldes, at de fortsætter for evigt.
I det væsentlige kan du dog starte fra det mest betydningsfulde tal og holde “udlån” til højre i stedet for at “låne” fra venstre.
Så hvis vi ser på de første par cifre, har vi
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
“Udlån” til højre betyder, at man tager den ene del af det øverste tal til ti tiendedele (hvilket det er!). At trække ni tiendedele efterlades en tiendedel. Men vi kan så “låne” det til højre som ti hundrededele, og træk ni hundrededele derfra, og fortsæt på ubestemt tid.
Og dette fortsætter på ubestemt tid. denne (uendelige) proces ville kun efterlade nuller, efterhånden som den skred “hele vejen” til højre.
Der er andre – mere stringente og mere elegante – måder at bevise, at 0. \ dot {9} = 1.
En anden måde at tænke over det er at kaste byrden, der er decimalet b asesystem (base ti) og tælle i ternær (base tre). Ternært er det system, hvor vi tæller 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ prikker. Tal i ternære har ikke decimaler, men ternære punkter. I det ternære har vi \ frac {1} {3} = 0,1 og \ frac {2} {3} = 0,2.
Men så er fraktionen \ frac {1} {2} = 0. \ prik {1} ophører ikke! For ikke at nævne, at det ternære, at den ikke-gentagende 0. \ dot {2} = 1, fordi det er nøjagtigt dobbelt det foregående udtryk (hvis du bytter højre og venstre side af ligestillingen, skal det være sådan).
Dette er den store og magtfulde ting ved lighed. Da vi ved, at i base ti \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, så \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, hvilket viser, at det samme antal kan har flere repræsentationer i det samme numeriske system med stedværdi.
Moralen i historien er at undgå at blive fanget i det, vi kalder ting, men fokusere i stedet på det, de er og hvad de gør .
Svar
Ja, en divideret med tre er mulige inden for felterne med reelle eller rationelle tal, og det svarer til en tredjedel.
Det er ikke muligt at repræsentere en tredjedel ved hjælp af en endelig decimalpositionsnotation. Hvis du vil bruge en uendelig repræsentation, som den, der antydes af prikkerne i 0.333 \ dotsc, må du hellere have en formel måde at sige, hvad det betyder. Matematikere har en sådan formel specifikation, kaldet grænser, hvor 0,999 \ dotsc = 1.
Bemærk, at decimaltallet repræsentation af et tal er ikke selve nummeret. Ligesom du ikke er dit navn eller dit kaldenavn eller nogen af dine mange IDer. Tal har masser af repræsentationer inklusive mange forskellige baser, ord, udtryk og så videre. Repræsentationerne for en tredjedel inkluderer:
- 0.333 \ dotsc (decimal)
- 0.1\_3 (ternær)
- \ frac13
- 20 “(minutter – en tredjedel af en time)
- 120 ° (grader – en tredjedel af en cirkel)
- \ frac26
og så videre.
Det faktiske nummer en tredjedel i sig selv forbliver fjernt fra alle disse repræsentationer. Det er defineret ved dets egenskab at være en delt med tre. Med andre ord er det det tal, der giver en, når ganget med tre. Alt andet er kun midlertidig notation, som, som du har bemærket, er lidt klodset i decimal.