Bedste svar
Nå ja. Ikke sikker på, hvor værdigt et bevis dette er, men i euklidisk geometri definerer du parallelle linjer som følger:
Vi siger, at AB \ parallel CD \ iff \ vinkel {FEB} = \ vinkel {EFC}.
Nu antager vi det modsatte – at AB og CD mødes f.eks. Ved et punkt P til højre for GH ( for bestemthed; du kunne altid antage, at P var til venstre for GH). Derefter i \ bigtriangleup {EFP}, \ vinkel {P} = 0 ^ o. Hvilket ville antyde, at AB og CD falder sammen (hvilket naturligvis er usant). Hvoraf AB og CD ikke kan mødes.
Dette er dog kun halvdelen af beviset – hvor vi viser, at parallelle linjer ikke kan mødes. For at bevise, at linjer, der ikke mødes, er parallelle, skal du overveje nedenstående diagram:
Hvis AB og CD ikke mødes, så må det være sandt, at EF = GH. Også EF \ parallel GH ved konstruktion, hvilket betyder at \ vinkel {FEG} = \ vinkel {EGH}. Hvorfra \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ implicerer \ vinkel {HEG} = \ vinkel {EGF} \ indebærer AB \ parallel CD.
Svar
Hvis en linjen er parallel med et plan, den vil være vinkelret på planetets normale vektor (ligesom enhver anden linje inde i planet eller parallelt med planet).
(Bemærk at jeg bruger “vinkelret ”Her, ikke i den forstand, at de skærer hinanden, nødvendigvis, men i den forstand, at deres vektorer ville være 90 grader, hvis de blev placeret ved siden af hinanden)
At finde ud af, om to vektorer er vinkelrette, bare tage deres prikprodukt. Hvis det er lig med 0, er de vinkelrette.
Så hvis vi f.eks. Har planet: 2x + 3y – 4z = 7 (normal vektor her ville være <2,3, -4>)
Og vi vil finde ud af, om linjen: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t, er parallel med den, vi skal bare bruge punktproduktet af linjens vektor (<1, -2, -1>) og planetets normale vektor.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
Så i dette tilfælde er linjen og planet parallelle.
Hvis vi vil bruge det samme plan, men sammenlign det med linjen: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, så får vi:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14
Så vi kan se, at disse to ikke vil være parallelle.