Bedste svar
Det afhænger.
a ^ 2 + b ^ 2 kan ikke faktor, fordi der er ikke to tal, der har en sum på nul og et produkt, der er større end nul.
Summen af to firkanter i form a ^ 4 + 4b ^ 4 kan betragtes som:
(a ^ 2) ^ 2 + (2b ^ 2) ^ 2 – 4a ^ 2b ^ 2
(a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2ab) (a ^ 2 + 2b ^ 2 – 2ab)
Eksempler:
x ^ 4 + 4 = (x ^ 2 + 2x + 2) (x ^ 2 – 2x + 2)
x ^ 4 + 64 = (x ^ 2 + 4x + 8) (x ^ 2 – 4x + 8)
x ^ 4 + 324 = (x ^ 2 + 6x + 18) (x ^ 2 – 6x + 18)
Vi kunne prøve at faktorere x ^ 4 + 1 og x ^ 4 + 2 på denne måde:
x ^ 4 + 1 = (x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1) (x ^ 2 – \ sqrt {2} x + 1)
x ^ 4 + 2 = (x ^ 2 + \ sqrt [4] {8} x + \ sqrt {2}) (x ^ 2 – \ sqrt [4] {8} x + \ sqrt {2})
Vi kan faktorere dem, der bruger irrationelle tal.
Vi kunne også prøve at faktorere x ^ 2 + 4:
\ sqrt {x ^ 4} + 4
(x + 2 \ sqrt {x} + 2) (x ^ 2 – 2 \ sqrt {x} + 2)
Det er også muligt at faktor summen af firkanter i form a ^ 6 + b ^ 6, fordi de også er terninger. Summen af to terninger (a ^ 3 + b ^ 3) kan betragtes som (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2):
a ^ 6 + b ^ 6 = (a ^ 2) ^ 3 + (b ^ 2) ^ 3 = (a ^ 2 + b ^ 2) (a ^ 4 – a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4)
a ^ 6 + 64 = (a ^ 2 + 4) (a ^ 4 – 4a ^ 2 + 16)
Vi kunne prøve at faktorere x ^ 2 + 1 på denne måde:
\ sqrt [3] {x ^ 6} + 1
(\ sqrt [3] {x ^ 2} + 1) (\ sqrt [3] {x ^ 4} – \ sqrt [3] {x ^ 2} + 1)
Svar
Ja, dette påvirker \ C
a ^ 2 + b ^ 2
= a ^ 2-i ^ 2b ^ 2
= (a + ib) (a-ib)
hvor i = \ sqrt {-1}
Men hvis vi har dette …
a ^ 4 + 4b ^ 4 så
(a ^ 2) ^ 2 + (2b ^ 2) ^ 2 [Dette er stadig den sum af firkanter]
= (a ^ 2 + 2b ^ 2) ^ 2–4a ^ 2b ^ 2
= (a ^ 2 + 2ab + 2b ^ 2) (a ^ 2–2ab + 2b ^ 2)
Dette er kendt som Sophie Germain Identity .