Bedste svar
Er en cirkel en funktion eller ej? Hvorfor?
For at være præcis, hvis du bruger kartesiske koordinater, er der ingen eksplicit funktion af x med rækkevidde er værdien af y, hvis punkter ligger på en komplet cirkel. Årsagen til dette er, at der for næsten enhver værdi af x i cirklen er to værdier af y svarende til de øvre og nedre halvcirkler, hvorimod en eksplicit funktion skal have en unik værdi for hver værdi af x. Så det bedste, vi kan gøre, er at bruge to funktioner på x, en til hver af disse halvcirkler. For eksempel for en cirkel med radius \ tekst {R} centreret ved oprindelsen:
\ qquad y = \ pm \ sqrt {\ text {R} ^ 2-x ^ 2}
Her giver valg af + en funktion, hvis punkter ligger på den øverste halvcirkel, og valg af a – giver en funktion med punkter på den nederste halvcirkel.
Men vi kan bestemt bruge en implicit funktion, der relaterer til de to koordinater, f.eks:
\ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = \ text {R} ^ 2
Der er også andre måder at konstruere eksplicitte funktioner til en cirkel ved hjælp af forskellige domæner og områder for funktionen. Følgende er for eksempel en eksplicit funktion, der definerer en cirkel i kartesiske koordinater:
\ qquad f (t) = (\ text {R} \ cos (t), \ text {R} \ sin (t))
Her er domænet sættet med reelle tal \ R som sædvanligt, men i dette tilfælde er funktionens rækkevidde sæt af punkter i xy-planet, idet vi husker at vi kan have sæt, som vi kan lide for en funktions domæne og rækkevidde. I dette tilfælde skal du dog bemærke, at det er værdierne for funktionen, der ligger på cirklen, og argumentet t er en uafhængig variabel.
Og selvfølgelig behøver vi ikke holde os til kartesiske koordinater. Hvis vi i stedet bruger polære koordinater til planet, så kan vi have en meget enkel eksplicit funktion til en cirkel, fx:
\ qquad r (\ theta) = \ text {R}
I praksis bruges alle ovenstående funktioner, eksplicitte og implicitte, ofte i matematik, når de beskæftiger sig med cirkler.
Svar
En cirkel er et sæt punkter i planet. En funktion er en kortlægning fra et sæt til et andet, så de er helt forskellige slags ting, og en cirkel kan ikke være en funktion.
Hvad du formodentlig mente at spørge er, om cirklen er -grafen for en eller anden funktion. Grafen for en funktion, f, er sæt par, (x, f (x)) for alle x i domænet, som kan fortolkes som punkter i et plan.
Så spørgsmålet er om der er en funktion, hvis graf er cirklen.
Svaret er nej, fordi hver værdi i domænet er knyttet til nøjagtigt et punkt i kodens hoved, men en linje, der passerer gennem cirklen, skærer generelt cirklen ved to punkter.
Denne slags ting er ubelejligt, fordi cirkler er meget vigtige inden for geometri. Nogle gange er punkterne i en cirkel beskrevet af en relation , givet af (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2, hvor (a, b) er centrum og r er radius. På grund af firkanterne kan der være to forskellige værdier af y, der gør forholdet sandt for forskellige værdier af x, så grafen for relation er en cirkel.