Bedste svar
Der er virkelig ikke en generel definition af plads i matematik. Næsten ethvert objekt, vi kan tænke på visuelt, kan kaldes et rum. Metriske rum, manifolds, Hilbert-mellemrum, orbifolds, skemaer, målerum, sandsynlighedsrum og moduli-stakke er alt, hvad vi kalder mellemrum.
Det tætteste ved en generel definition af rum er sandsynlighed begrebet a topologisk rum. For eksempel er metriske mellemrum, manifolds, Hilbert-mellemrum, orbifolds og skemaer alle topologiske rum med lidt mere struktur.
Et topologisk rum består af et sæt punkter, X og en samling af undergrupper af X, som vi kalder “åben”, under forudsætning af, at
- Det tomme sæt og selve X er åbne,
- Enhver forening af åbne sæt er åben,
- Og skæringspunktet mellem et par åbne sæt er åbent.
De åbne sæt antages at være som de åbne undergrupper af \ mathbb {R}. I fare for at være vag, tænker vi på de åbne sæt som disse delmængder U af X, så hvert punkt i U har kan flyttes lidt uden at forlade U. Dette er bogstaveligt talt tilfældet for \ mathbb {R}, da åbne sæt der er defineret til at være delmængderne U, så der for alle x \ i U er en \ epsilon> 0, så (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ delmængde U (dvs. at flytte x med mindre end \ epsilon resulterer ikke i et punkt uden for U).
Det viser sig, at denne minimale mængde information – et sæt punkter og en samling af åbne undergrupper – er nok til at fortælle, om funktionerne er kontinuerlige. Dette gør topologiske rum virkelig nyttige.
På den anden side er ikke hvert rum i matematik et topologisk rum eller endda, som andre har svaret, et sæt punkter med en vis ekstra struktur. Dette var noget, jeg var forbløffet over at lære for et par semestre siden.
Det modeksempel, jeg har i tankerne, er ideen om en moduli-stak, som (dette bliver underligt!) Er en bestemt slags functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, hvor præbillederne af hvert objekt D af \ mathcal {D} betragtes som en samling af kontinuerlige funktioner fra D til det rum, som F skal repræsentere.
Hvordan i alverden er dette et rum? For at få lidt intuition skal du overveje sæt kontinuerlige funktioner fra et rum, der består af et enkelt punkt til et topologisk rum, X. For hvert punkt p \ i X får vi en funktion, der tager det enkelte punkt til p. I denne forstand beskriver sættet med kontinuerlige funktioner fra et punkt til X punkterne i X. Hvis vi betragter funktioner fra noget mere avanceret, siger et linjesegment, til X begynder vi at få en idé om, hvordan punkterne i X er relateret til hinanden – hvilke der kan forbindes med hinanden via en sti, hvilke der er tætte og hvilke der er langt fra hinanden og så videre. Ved at overveje alle mulige sæt funktioner i X kan vi faktisk udlede nøjagtigt hvad X er. Dette er en idé, der går under navnet Yoneda Lemma . Idéen med en moduli-stak er at bruge dette som en metafor: enhver funktion, der “ligner” den beskriver funktioner i et topologisk rum, kan bruges til at definere et “rum”.
Hvad jeg vil understrege er dette: der er mange slags rum i matematik, men hvis du ønsker at få en grundlæggende idé om, hvad et rum er, skal du studere topologiske rum. Når det er sagt, tingene bliver underlige!
Svar
Rummet i sig selv har ikke meget af en formel definition. Det er næsten en matematisk version af ordet “ting”. Måske er et nærmere synonym “indstillet”, men ordet “rum” betyder, at der er en ekstra ingrediens … en eller anden struktur … det er også i spil. Ellers ville de bare bruge ordet “sæt.”
Forskellige slags mellemrum har definitioner. Et vektorrum er et sæt af vektorer, der følger nogle regler. Et topologisk rum er et sæt sammen med en særlig samling af undersæt der opfylder nogle regler. Et metrisk rum er et sæt sammen med en passende formel, der fortæller dig afstanden mellem punkterne i sættet. Ofte har de specielle rumtyper beskrivende navne som disse.
Andre typer rum er opkaldt efter folk, der har studeret dem. Banach-rum, Hilbert-rum, Sobolev-rum … disse er alle specielle typer vektor-rum med en lille smule ekstra struktur det gør dem interessante på deres egen måde og er opkaldt efter folk, der var vigtige i udviklingen af den historie.