Bedste svar
2x + y = 5, x – y = 1 har en unik løsning på x = 2, y = 1. Linjerne 2x + y = 5, x – y = 1 krydser på et og kun et punkt, og det er (1,2).
Hvis der er to parallelle linjer som f.eks. x – y = 1 og x – y = 7, så er der ingen løsning på ligningerne x – y = 1, x – y = 7.
Hvis 2 ligninger faktisk er de samme som x – y = 1,5 x – 5y = 5, så er ethvert punkt, der ligger på den linje, en løsning som x = 3, y = 2 eller x = 1.000 y = 999, og der er ingen unik løsning.
Det bliver lidt mere interessant i en situation, hvor der er 3 variabler, siger x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 har en unik opløsning af x = 1, y = 1, z = 1. Flyene 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 krydser ved et og kun et punkt, og det er (1,1, 1).
Hvis der er tre parallelle planer som x + y + z = 1, x + y + z = 4 og x + y + z = 8, er der ingen løsning på ligningerne x + y + z = 1, x + y + z = 4 og x + y + z = 8.
Hvis en ligning er en lineær kombination af to andre, er der ingen unik løsning. Her er et eksempel 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Ikke kun er (1,1,1) en løsning, men også (2,2, -2) og (3, 3, -7). Faktisk er der uendelige løsninger.
Årsagen er, at en ligning er en lineær kombination af de andre
3x + z = 4 er 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Der er en hel masse referencer til dette, men forhåbentlig vil dette give dig en idé om, hvad der er unikke løsninger i lineære systemer.
Svar
Mit svar antager først, at dette er et system med lineære ligninger sammenlignet med et system med lineære uligheder.
Kort svar – Gensidigt eksklusive muligheder: Ingen løsning, En unik løsning eller et uendeligt antal løsninger.
Langt svar – Hvilke typer løsninger er, afhænger i et vist omfang af, hvor mange ligninger, hvor mange variabler i det lineære system, og hvordan du vil beskrive systemet.
Algebraically:
- Et system uden løsninger kaldes et inkonsekvent system . Det betyder, at der ikke er noget sæt værdier for variablerne, der løser alle ligninger samtidigt i systemet. Følgende system er inkonsekvent:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Et system med nøjagtigt en løsning kaldes et konsistent, uafhængigt system. Konsekvent, fordi der findes en løsning og uafhængig, fordi hver ligning er uafhængig af de andre ligninger. Dette betyder, at hver værdi for variablerne i løsningen er uafhængig af værdierne for de andre variabler. Der er nøjagtigt et sæt værdier – en værdi pr. Variabel – der samtidigt løser alle ligningerne i systemet. Følgende er et konsistent, uafhængigt system (taget fra mathisfun.com) med løsning x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Et system med uendeligt mange løsninger kaldes et konsistent, afhængigt system. Det er afhængigt, fordi mindst en ligning i systemet er et multiplum af en anden ligning eller en kombination af andre ligninger. Det betyder, at mens de andre variabler i systemet kun har en værdi, der løser alle systemer samtidigt, kan en eller flere variabler løse systemet med en hvilken som helst værdi. Følgende er et konsistent, afhængigt system med løsning y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Grafisk (3 variabelt system som eksempel):
- Et system med to variabler kan repræsenteres ved en gruppe af linjer på en todimensionel graf (normalt xy), mens et system med tre variabler er en samling af linjer eller plan på en tredimensionel graf (normalt xyz).Så et system med n mange variabler er repræsenteret på en n- dimensionel graf.
- I et konsistent, uafhængigt system mødes alle flyene på et tidspunkt (dvs. 2 vægge og et gulvmøde i et hjørne). I det konsistente, uafhængige system, der er brugt ovenfor i det algebraiske svar, krydser de tre plan alle ved punktet (5,3,2).
- I en konsekvent , afhængigt system , alle flyene mødes ikke kun på et punkt, men på en linje (dvs. tre sider af et bogmøde ved rygsøjlen). I det system, der er anvendt ovenfor i det algebraiske svar, krydser de tre plan alle ved linjen -5 y + 20 z = 27 (Bemærk, at x kan være en hvilken som helst værdi i løsningen).
- I en inkonsekvent system , mindst to plan er parallelle og mødes således aldrig. Det tredje plan kan være parallelt med begge planer (dvs. vejlinjer på en gade) eller kan krydse dem begge, men aldrig på samme sted. (dvs. modsatte vægge i et rum og loftet).