Hvad bliver resten, når 17 ^ 200 divideres med 18?


Bedste svar

\ mathbf {\ text {Første løsning.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ antyder 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ antyder 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Anden løsning ved hjælp af Eulers sætning.}}

\ text { (17, 18) er relativt prime. Vi kan bruge Eulers sætning.}

\ text {Eulers totient-funktion.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ højre) \ venstre (1 – \ dfrac {1} {3} \ højre) = 18 \ venstre (\ dfrac {1} {2} \ højre) \ venstre (\ dfrac {2} {3} \ højre) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implicerer (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ antyder 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ impliserer 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ antyder 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ antyder 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ derfor \, \, \ tekst {1 er resten, når} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {divideres med 18}}

Svar

Vi ønsker resten, når 17 ^ {200} divideres med 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Resten, når 17 ^ {200} divideres med 18, er 1.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *