Bedste svar
Det er svært at vælge en, så jeg vil lade dig vælge 🙂
- Eulers identitet
Ligningen kombinerer fem af de vigtigste tal i matematik Disse er:
- 1 – grundlaget for alle andre tal
- 0 – begrebet intethed
- pi – antallet, der definerer en cirkel
- e – det tal, der ligger til grund for eksponentiel vækst
- i – den “imaginære” kvadratrode af -1
2. Einsteins feltligning ( resumé af de ti ligninger)
Fysikeren John Wheeler opsummerede det kortfattet: “Rumtid fortæller noget, hvordan man bevæger sig ; materie fortæller rumtid, hvordan man kurver. “
Einsteins ligning kan fortælle os, hvordan vores univers har ændret sig over tid, og giver glimt af det tidligste øjeblik. s af skabelsen. Det er ingen overraskelse, at det er mange forskeres favorit.
3. Bølgeligning
Bølgeligning beskriver, hvordan bølger spredes. Det gælder for alle slags bølger, fra vandbølger til lyd og vibrationer, og endda lys- og radiobølger.
Det er et plakatbarn for tanken om, at matematiske principper udviklede sig i et område eller for deres eget kan have vitale anvendelser på andre områder. Dens skønhed kommer fra kombinationen af disse egenskaber: elegance, overraskelse, intellektuel dybde, nytte.
4. Det logistiske kort
Det logistiske kort er et af de klassiske eksempler på kaoteteori.
Det kan sammenfattes som følger: stor kompleksitet kan opstå fra meget enkle regler.
Ligningen kan bruges til at modellere mange naturlige processer, for eksempel hvordan en population af dyr vokser og krymper over tid.
Hvordan befolkningen opfører sig viser sig at være enormt følsom over for værdien af r på kontraintuitive måder. Hvis r er mellem 0 og 1, vil befolkningen altid dø, men hvis den er mellem 1 og 3, vil befolkningen nærme sig en fast værdi – og hvis den er over 3.56995, bliver befolkningen vildt uforudsigelig.
Denne adfærd beskrives som “kaotiske” af matematikere, og de er ikke, hvad vi instinktivt ville forvente. Men de kommer alle ud af en ligning, der er matematisk ret enkel.
Det er det for nu.
Hvis du tror, at jeg savnede en ligning, så fortæl mig, jeg ” Jeg tilføjer det i svaret 🙂
Svar
Jeg ser mange grundlæggende beregningsproblemer, der involverer PEMDAS lige nu, sendt her, men det er elementær matematik, som jeg er sikker på 99\% af de mennesker, der synes, de er rigtig gode til matematik, kan få det rigtige. Jeg bemærkede også Bob Hocks ligning, som er meget kreativ, men jeg tror ikke, det er så svært at bevise.
Problemet, jeg sender her, er AIME II-opgave 15 fra 2006, som ser meget kompliceret ud, men går ned til noget ret simpelt gennem en kreativ relation:
I betragtning af at x, y og z er reelle tal, der tilfredsstiller
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
og at x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, hvor m og n er positive heltal og n er ikke delelig med kvadratet på nogen primer, find m + n
Ved første øjekast løser vi et algebra-problem, hvor vi skal finde summen. En første tanke kunne være at kvadrere ligningerne for at slippe kvadratrødderne til en vis grad, men en sådan metode er tydelig rodet.
Bemærk at vi ikke behøver at løse for hver af x, y , z separat og kun har brug for deres sum, kan vi overveje at tilføje de tre givne ligninger, hvilket giver
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Vi har det, vi har behov på den ene side, men den anden side ser ikke ud til at noget vil annullere, så det ser ikke ud til at være korrekt.
En tredje idé ville være at faktorere udtrykket inde i kvadratrødderne ved hjælp af forskellen i firkanter da de givne fraktioner alle er perfekte firkanter. Dette giver
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
osv., men alligevel er der ingen klar måde at manipulere faktorerne på en hvilken som helst nyttig måde. Kort sagt kan vi forsøge at løse en variabel ad gangen, men der er ingen klar måde at gøre det på.
Det viser sig, at den bedste løsning på dette problem er at tænke geometrisk. Husk Pythagoreas sætning siger, at i en højre trekant med ben a, b og hypotenuse c er a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vi kan manipulere dette for at få en = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Dette er nøjagtigt formen af termerne på ligningerne RHS.
Hvis vi tegner en trekant i overensstemmelse med denne erkendelse, kan vi fra den første ligning danne to højre trekanter med højden \ frac {1} {4} og med hypotenusen y og z. x er lig med summen af den tredje længde af hver højre trekant. Hvis vi lader højden på de rigtige trekanter være det samme linjestykke af længden \ frac {1} {4}, danner vi en større trekant med sidelængderne x, y, z og højden af \ frac {1} {4} på x-siden.
Fortsat med den samme idé til anden og tredje ligning, får vi, at trekantshøjden på y- og z-siderne er \ frac {1} {5} og \ frac {1} {6}, henholdsvis. Fra arealligningen af en trekant kan vi få
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {and} y = \ frac {5} {6} z
Desuden fra Herons formel , vi får
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Udskiftning i z fra de andre områdeformler, dette forenkler til
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Således
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
så m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}