Bedste svar
Deloperatoren er en måde at finde afledningen af en vektor på. Du er muligvis bekendt med at finde afledningen til skalære funktioner, som kan repræsenteres af noget af formen
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f “(x)
hvor f (x) er en funktion af x, f “(x) er dets derivat, og \ frac {d} {dx} er det udtryk, der fortæller os at tage afledningen i første omgang. Du kan tænke på \ frac {d} {dx} som derivatoperatoren, fordi det fortæller dig at tage et derivat af den ting, det er ved siden af.
Nu vil vi også gøre dette for vektorer, som oftest er dem, der er repræsenteret i kartesiske koordinater (funktioner af x, y og z). Hvorfor? Fordi mange fysiske fænomener (såsom elektriske eller gravitationsfelter) kan beskrives som vektorer, og ændringerne af disse fænomener (og dermed derivaterne) er vigtige.
Så hvordan tager vi afledningen af en vektor ? Vi bruger Del-operatøren. Da vi ønsker at bruge det med vektorer, skal det være en vektor i sig selv. Og da vi vil bruge det til alle tre kartesiske koordinater og ikke kun x, vil det have flere bogstaver. I sidste ende ser Del-operatoren meget ud som vores ovennævnte derivative operator, men med nogle få flere udtryk:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nabla er det, vi kalder Del Operator, selvom symbolet officielt er en nabla; Jeg lærte ærligt talt bare, at det blev kaldt et hoved på hovedet! Udover blot et derivat med hensyn til x, tager vi nu også delvise derivater med hensyn til y og z. Når vi tager et delvis afledt, behandler vi bare alle variabler undtagen en som konstanter og tager afledningen med hensyn til vores valgte variabel.
Da der er to måder at multiplicere vektorer på, får vi naturligvis to måder at tage et vektordivat på. De to måder at multiplicere vektorer på er at bruge prikprodukt og krydsprodukt ; resultatet af hver multiplikation er henholdsvis en skalarværdi og en vektorværdi.
Et eksempel på brug af punktproduktet beregner divergensen i det elektriske felt:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Her tager vi et derivat ved hjælp af prikproduktet og har den skalære værdi {\ rho} \_v, som er volumenladningstætheden i et område.
Et eksempel på at bruge krydsproduktet er at beregne krøllen for det elektriske felt:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Her tager vi et derivat ved hjælp af krydsproduktet og er tilbage med vektorværdien \ mathbf {B} (mere specifikt dets tidsderivat).
Deloperatoren er dog også nyttig uden for vektorer. Hvis vi behandler Del Operator som kun en sum af tre forskellige ting, kan vi gange det med en eller anden skalarfunktion, og den funktion fordeles over det hele:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
I dette tilfælde har vi gjort en skalar til en vektor! Dette er kendt som at tage gradienten af skalarfunktionen. Hvad det gør, er det fortæller dig, hvilken retning funktionen ændrer sig hurtigst i. Dette bruges ofte til potentielle felter, der har form:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
hvor \ mathbf {U} er en potentiel energi (såsom en fjeder eller tyngdekraft) og F er den kraft, der er resultatet af at blive placeret i dette felt. Det er stadig et vektordivat, hvilket er det, vi beskrev Del Operator som tidligere, det er bare, at det er vektordivatet af en skalar i stedet for vektorderivatet af en vektor. Ja, de findes også!
Og det fortsætter. Du har muligvis set udtrykket {\ nabla} ^ 2; dette er kendt som laplacian og ses i ting som bølgeligning. Det er i det væsentlige bare at bruge Del Operator to gange i træk. Det kan udvides til andre koordinatsystemer med flere variabler eller reduceres ned til to eller en dimension. Det er et meget vigtigt koncept og bliver brugt i næsten enhver gren af fysikken!
Svar
Deloperatoren (også undertiden kaldet en nabla) er defineret som følger i kartesiske koordinater :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
Hvad angår den fysiske betydning?
Del-operatoren fungerer som vektor-beregningsækvivalenten for et rumligt derivat. Der er tre typer af derivater tilknyttet deloperatøren. Lad os antage, at A er en vektor, og \ phi er en skalar.
Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
Divergens: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Hver af disse typer af derivater har interessante egenskaber, som du selv kan Google.
Håber dette hjælper!
Bemærk: Alle disse ligninger er forskellige i andre koordinatsystemer (f.eks. sfærisk, cylindrisk) . Vær forsigtig!