Bedste svar
De fleste sekvenser, som du støder på, er givet med en formel for n- term: a\_n = f (n) hvor f er en funktion bygget op af aritmetiske operationer, kræfter, rødder, eksponentiering, logfiler og undertiden andre funktioner. Spørgsmålet er, hvad der sker, når n nærmer sig uendelighed. Er \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) et endeligt tal, dvs. konvergerer sekvensen, eller sker der noget andet? Afviger det til \ infty eller to – \ infty, svinger det mellem to forskellige tal, eller bryder alt kaos løs?
Hvis du “ikke er interesseret i sikkerhed, men tilfreds med et svar, som” Hvis det vil være rigtigt i de fleste situationer, kan du bare beregne a\_ {1000} eller et andet sted langt ude i sekvensen. For de fleste sekvenser, som du støder på, skal det svare på dit spørgsmål.
Men det er ikke dit spørgsmål. Du vil virkelig vide, om sekvensen konvergerer eller ej. Du vil have sikkerhed, og hvis det er muligt, vil du have at vide, hvilket nummer det konvergerer til. Desværre kan formularer, som sekvenserne har, være ubegrænsede. Det bedste du kan gøre er at have flere principper, der tager sig af de fleste tilfælde. Her er et par principper.
- Rationelle funktioner , dvs. kvoter af polynomer, såsom a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Du kan se, hvad der skal ske, hvis du deler tælleren og nævneren med den højeste styrke af n, der er til stede. Du kan sammenfatte det hele i en sætning: Hvis graden af tælleren er den samme som nævneren, så konvergeres sekvensen til forholdet mellem de førende koefficienter (4/3 i eksemplet); hvis nævneren har en højere grad, så konvergeres sekvensen til 0; hvis tælleren har en høj r-grad, så divigerer sekvensen til \ infty, hvis de førende koefficienter har det samme tegn, eller til – \ infty, hvis de har forskellige tegn.
- Kvoter af algebraiske funktioner, der involverer rødder som a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Del tælleren og nævneren med en brøkstyrke på n. I dette eksempel vil \ sqrt n gøre.
- Kompositioner , for eksempel a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Den ydre funktion, sinus, er en kontinuerlig funktion, og kontinuerlige funktioner bevarer grænser. I dette tilfælde har vi \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, så den originale sekvens nærmer sig \ sin0 = 0. Men overvej i stedet a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Her har vi \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ til \ infty, og \ sin x svinger mellem –1 og 1 som x \ til \ infty, så denne sekvens har ingen grænse.
- Relative vækstordrer . Ofte har du a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} hvor både f (n) \ til \ infty og g (n) \ til \ infty. Hvad der sker med kvotienten afhænger af, om tæller eller nævneren vokser hurtigere. Jeg bruger symbolet \ prec til at indikere, at man vokser meget langsommere end en anden, dvs. f \ prec g betyder \ lim\_ {n \ til \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Det er nyttigt at kende et par af disse, og du gør det. F.eks. N \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Det er alle eksempler på polynomer, men du bør kende et par andre funktioner \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L “Hôpital” s regel . Selvom sekvenser er diskrete, hvis den kontinuerlige grænse konvergerer, eller hvis den divergerer til plus eller minus uendelig, så så har den diskrete grænse. Så hvis du for eksempel “har a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n}, og du ikke brugte ovennævnte ordrer, kan du bruge L” Hôpital ” s-regel. Da der i grænsen \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, tælleren og nævneren begge nærmer sig uendeligt, vil denne grænse være den samme som begrænse, hvor du udskifter tælleren og nævneren med deres derivater, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, og hvis det stadig ikke er klart, hvad der sker, da dette også er af formularen \ infty / \ infty, kan du bruge L “Hôpital” s regel ag ain.
- Den særlige grænse for e ^ x. Nogle gange bruges dette som definitionen af den eksponentielle funktion. Det er værd at vide, og det kommer ofte op i nyttige sekvenser. (1 + x / n) ^ n \ til e ^ x
Jeg er sikker på, at der er flere teknikker. Glem ikke at forenkle brugen af algebra undervejs.
Svar
Få test til test af konvergensen af sekvenser.
1. Givet en sekvens a\_n og hvis vi har en funktion f (x) sådan at f (n) = a\_n og \ lim\_ {n \ til \ infty} f (x) = L så \ lim\_ {n \ til \ infty} a\_n = L
2. Hvis \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 så \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Sekvensen {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty konvergerer hvis -1 \ ler \ le1.
4. For en sekvens \ {a\_n \} hvis \ lim\_ {n \ til \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, så er a\_n konvergent med grænse L.