Bedste svar
En kontravariant tensor af rang 2 er symmetrisk, hvis den er uforanderlig under permutation af dens indekser. Dets komponenter ændres ikke ved udveksling af indekserne og tilfredsstiller følgende:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Tilsvarende er en covariant tensor af rang 2 symmetrisk hvis det er uforanderligt under permutation af dets indekser, og dets komponenter opfylder følgende:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensorer af rang 2 kan normalt repræsenteres af matricer , så symmetrien af en tensor er i det væsentlige relateret til symmetrien af matrixen, der repræsenterer den. Det er kendt, at hvis indtastningerne i en symmetrisk (firkantet) matrix udtrykkes som A = (a\_ {pq}), så er a\_ {pq} = a\_ {qp} for alle indeks p og q. Den symmetriske matrix er lig med dens transponering ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Eksempler på anden rang symmetriske tensorer inkluderer metriske tensor g \_ {\ mu \ nu} , eller Cauchy-stress tensoren ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}), som kan skrives i matrixform som:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ slutning {matrix}} \ højre]}
Hvis vi f.eks. har en højere rangtensor af formen
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
tensoren siges at være symmetrisk i m og p.
En tensor, der er symmetrisk med hensyn til to kontravariant og enhver to covariante indeks siges at være symmetriske.
En tensor kaldes skæv-symmetrisk eller antisymmetrisk, hvis
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
I det generelle tilfælde er en symmetrisk tensor er en tensor, der er uforanderlig under permutation af dens vektorargumenter:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
for hver permutation σ af symbolerne {1, 2, …, r }. Alternativt er en symmetrisk tensor af orden eller rang r repræsenteret i koordinater som en størrelse med r indeks tilfredsstiller
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Svar
Matricer er rektangulære arrays af elementer fra et eller andet felt (normalt \ mathbb {R} eller \ mathbb {C}, men ikke altid), der har funktion af multiplikation med en anden matrix og multiplikation med et defineret feltelement.
Matricer bruges til at repræsentere et stort antal forskellige ting:
- koefficienter for lineære ligninger
- lineære transformationer (givet et bestemt ordnet sæt basisvektorer)
- ændring af basis for vektorrum (givet to ordnede sæt basisvektorer)
- tensorer (specifikt rækkefølge 2 tensorer)
- bestemte grupper
- osv.
Nogle af disse anvendelser kan blive forvirrede: givet en ikke-singulær firkantet matrix uden kontekst, det er umuligt at fortælle at se på det, hvis det repræsenterer en lineær transformation (eller på hvilket grundlag den er), en ændring af basis eller en tensor.
Kort sagt, matricer er meget generelle.
Tensorer er multilineære funktionaliteter på vektorer og funktionaliteter (dobbeltvektorer). Med andre ord er en rækkefølge n + m tensor en funktion på n vektorer og m dobbeltvektorer, der returnerer et reelt eller komplekst tal og er lineær på alle dens argumenter.
Tensorer på endelige dimensionelle vektorrum kan repræsenteres af et n + m-dimensionelt array af elementer fra feltet i vektorrummet, og for ordre 2 tensorer er dette ofte repræsenteret som en matrix. Ligesom matrixrepræsentationen af lineære transformationer er den flerdimensionale matrixrepræsentation af en tensor afhængig af det anvendte grundlag.
Tensorer beskrives ofte, bruges og undertiden endda defineret i form af flerdimensionelle arrays af feltelementer, underlagt begrænsningen af, hvordan tensoren transformeres med hensyn til differentielle ændringer i basisvektorerne. Men i deres hjerte er de multilineære funktionaliteter på vektorer og lineære funktionaliteter.