Bedste svar
Der findes desværre ingen enkel metode. Der er dog mønstre for dens slutcifre, selvom det er et andet emne.
Her er formlen alligevel: Faktorsummer – fra Wolfram MathWorld
=
hvor
er reelle del af z,
er gamma-funktion og i er imaginært nummer .
Svar
Tricket til skræmmende nummerproblemer som dette er t o find mønstre.
For det første er vi nødt til at slippe af med alle de grimme tal, der er involveret i gigantiske fakta og eksponenter. Da vi kun kigger på det sidste ciffer, påvirker ethvert ciffer der (ti-cifret, hundreder cifret osv.) Ikke det. (Det er fordi alle disse andre cifters værdier alle er multipla af 10, men da 10> 1 og hvert multiplum af 10 slutter med 0, påvirker det ikke enhedens ciffer.)
Vores bedste chance er for at starte med at finde enhedscifret for dette nummer uden eksponenten (bare basen). Da det er let at beregne de første par fabriksbilleder, gør vi det. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320 …. Hvorfor slutter de med nul?
Det er på grund af faktoriets primfaktorisering . Som du ved, 10 = 5 \ cdot 2. Hvis noget primærfaktorisering har en 5 og en 2, er det et multiplum af ti (af Distributive Property). Da det sidste ciffer i et tal i base-ti (hvad vi bruger) dybest set er den del, der ikke kan deles med 10, i multipla af 10 er det 0.
Nu ser vi igen på faktorierne .
1 = 1
2 = 1 * 2
3 = 1 * 2 * 3
4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3
5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5
Siden den faktiske noget højere end 5 vil være et multiplum af 5! du ved, at det vil have en 2 og en 5 i sin primære faktorisering, så de ender alle med 0. Hurra! Nu behøver vi kun se på 1 !, 2 !, 3 !, og 4 !. Som vi allerede har beregnet, er deres sum 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, hvis sidste ciffer slutter med 3.
Nu er vores problem 3 ^ 33. Vi prøver at kigge efter mønstre igen. Lad os se på nogle kræfter på 3!
3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….
Hmmmm. Det cykler: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 … (Bemærk: Jeg ved ikke hvorfor dette sker. Nogen fortæller mig venligst!) Og hver eksponent, der er et multiplum af 4, fører til en slutter med 1, som du kan se. 32 er et multiplum af 4, så 3 ^ 32 slutter med 1. Nu ser vi blot på det næste tal i cyklussen: 3! Derfor ender den med 3.