Bedste svar
Afledningen af denne sum svarer til den for
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Lad
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Da tilføjelse er kommutativ, kan vi skrive S i omvendt sådan
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ prikker + 1 \ tag * {(2)}
Tilføjelse af disse to repræsentationer udtryk for udtryk giver os
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ prikker (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Herfra følger det selvfølgelig, at
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Dette er et kendt resultat, der kan bevises ved induktion, hvilket jeg fortsætter med at gøre lige nu. For at gøre dette skal vi vise, at
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Bemærk: Jeg bruger H\_ {0} som en stenografisk reference til hypotesen)
For at vise, at H\_ { 0} holdes via induktion, skal vi vise, at ligestillingen gælder for basissagen, n = 1, og induktionssagen, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Basissagen er tydelig, da 1 = 1 ^ {2} = 1, hvilket efterlader os med induktionssagen.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vi ser, at ligestillingen gælder for k + 1, derved bevis for, at H\_ {0} virkelig er sandt. Således kan vi definitivt hævde, at vores afledning af (6) faktisk er korrekt.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Svar
Lad os se og se. Enhver kan i det mindste observere de første par forekomster, ikke?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Genkender du nu tallene til højre?
1,4,9,16,25, \ ldots
Ja! Disse er de perfekte firkanter. 1 \ gange 1, 2 \ gange 2, 3 \ gange 3, 4 \ gange 4 og så videre.
Vi har nu en formodning. Lad os sætte det på prøve:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ja! De seks mindste ulige tal udgør 6 ^ 2, ligesom vi havde forudsagt. Du kan prøve et par mere: det virker.
Hvis vi er fysikere, stopper vi her. Vi har lavet en observation, vi dannede en hypotese, vi testede vores hypotese eksperimentelt en og to og hundrede gange, det fungerer altid, gjort. Vores teori er korrekt, indtil et eksperiment afviser det.
Men vi er matematikere, er vi ikke. Vi har brug for bevis. Og der er strenge beviser på masser af denne dejlige lille kendsgerning.
Men der er også et krystalklar visuelt bevis. Her er det:
EDIT: mange mennesker har bedt om et strengt bevis. Her er en relativt enkel, som kan udledes af dette visuelle bevis.
Vi bemærker, at de ulige tal er bare forskellene mellem på hinanden følgende firkanter som sådan:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
og så videre. Derfor når vi tilføjer dem, annullerer alt undtagen den sidste firkant:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Så lad os nu skrive dette formelt for et hvilket som helst antal ulige tal, der tilføjes. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
og derfor summen af de første n ulige tal, som er
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
er lig med
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED