Bedste svar
Det “væsentlige” derivat, også kaldet “total” derivat eller “konvektivt” derivat, er egentlig ikke et andet derivat , snarere er det et derivat af en anden funktion .
Lad \ lambda (x, t) være en given funktion af rum og tid. Differentiering af \ lambda med hensyn til tid, idet rumvariablen holdes fast, giver det sædvanlige partielle tidsderivat. Overvej nu en “sammensat funktion” g (t) = \ lambda (X (t), t), dvs. vi vurderer \ lambda langs kurver X (t) i rummet sporet ud af en skalarvariabel t. Derivatet af g er det væsentlige (total, konvektive) derivat af \ lambda. Således er det væsentlige derivat afledet af sammensætningen af funktionerne \ lambda og X.
Svar
I Andersons 6. udgave af Fundamentals of Aerodynamics forklarer han det samlede derivat med et fysisk eksempel. Det samlede afledte har et konvektivt udtryk (med nabula-punktet V) og et tidsrum (med delvis respekt for t). Her er det fysiske eksempel.
Du er på vandretur og snuble over en hule. Du beslutter dig for at gå ind i hulen, men lige når du kommer ind i den seje hule, negler din ven dig i ansigtet med en snebold. Således føler du to kilder til kulde. Den første er fra din skiftende placering – flytter ind i hulen. Det andet er fra din ven, der rammer dig med snebolden i det øjeblik.
Således er temperaturen den variabel, vi tager det samlede afledte af, og hulen leverer det konvektive udtryk, og snebolden danner tiden term.
Det bruges ofte i aerodynamik, da vi betragter et flydende element, der bevæger sig i en strøm (tænk bare på et lille volumen, som du sporer). Det væsentlige afledte fortæller os om dette bevægelige element. Hvis det ikke bevægede sig, kunne du erstatte det væsentlige derivat med bare det delvise med hensyn til tid. Men fordi partiklen bevæger sig, tegner det konvektive udtryk for, at ejendommen skifter mellem steder.