Bedste svar
For at være præcis kan du ikke tage krølningen af en enkelt vektor. Du har brug for et vektorfelt for at tage krøllen, noget som dette:
Krøllen er en differentiel operator, der tager et tredimensionelt vektorfelt og spytter ud et andet tredimensionelt vektorfelt.
For at få en fornemmelse for, hvad krøllen betyder, forestil dig, at vi har et vektorfelt, der repræsenterer hastigheden af en væske. Det vil sige, væsken fylder noget rum, og “hastighedsfelt” fortæller os, hvad fluidets hastighed er på hvert punkt i det rum. Hvis vi tager hastigheden på hastighedsfeltet, får vi et nyt vektorfelt, der groft sagt fortæller os, hvordan væsken roterer ved hver punkt i rummet. Specifikt fortæller størrelsen af krøllingsvektoren dig styrken af rotation, og retningen fortæller dig rotationsretningen i henhold til Højrehåndsregel .
I cartesi en koordinater, krøllen kan beregnes som delproduktets krydsprodukt og det originale felt: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z} – \ frac {\ delvis F\_z} {\ partial x}) \ hat {y} + (\ frac {\ partial F\_y} {\ partial x} – \ frac {\ partial F\_x} {\ partial y}) \ hat {z}
En af de største grunde til, at krøllen er vigtig, er Helmholtz-nedbrydning . Dybest set er alt hvad du behøver for fuldstændigt at karakterisere et vektorfelt dets divergens og krølle. Dette bruges med stor effekt, for eksempel i Maxwell-ligningerne, som ved at specificere krøller og divergens af de elektriske og magnetiske felter, giver dig mulighed for at løse for felterne:
Svar
Forskellige mennesker kan finde forskellige analogier / visualiseringer nyttige, men her er et muligt sæt af” fysiske betydninger “.
Divergens: Forestil dig en væske, hvor vektorfeltet repræsenterer væskens hastighed på hvert punkt i rummet. Divergens måler nettostrømmen af væske ud af (dvs. divergerer fra) et givet punkt. Hvis væske i stedet strømmer ind i dette punkt, vil divergensen være negativ.
Et punkt eller en region med positiv divergens kaldes ofte en” kilde “(af væske eller hvad som helst feltet beskriver), mens et punkt eller et område med negativ divergens er en “vask”.
Curl: Lad os gå tilbage til vores fluid, hvor vektorfeltet repræsenterer fluidhastighed. Krøllen måler den grad, i hvilken væsken roterer omkring et givet punkt, hvor boblebade og tornadoer er ekstreme eksempler.
Forestil dig et lille stykke væske, lille nok til at krøllen er mere eller mindre konstant indeni den. Du er også krympet ned meget lille og får at vide, at du skal svømme et skød rundt omkredsen af det stykke væske. Vælger du at svømme rundt med uret eller mod uret? Hvis hastighedens krølling er nul, betyder det ikke noget. Men hvis det ikke er nul, vil du i en retning for det meste med strømmen, og i den anden retning vil du mest gå mod strømmen, og så dit valg af retning ville noget. Krøllets tegn fortæller dig, hvad der er det rigtige valg.
Gradient: Mens det er helt gyldigt at tage gradienten af et vektorfelt, resultatet er en rang 2 tensor (som en matrix), og så er det sværere at forklare intuitivt (selvom en anden måske vil klare det). Så i stedet vil jeg tale om gradienten af et skalar felt: specifikt det felt, der giver jordhøjden over havets overflade på et givet punkt på Jorden (specificeret f.eks. med hensyn til bredde og længdegrad).
I denne situation er gradienten faktisk ret enkel: den peger “op ad bakke” (i den stejleste retning), og størrelsen fortæller dig, hvor stejl det er. For eksempel, hvis gradienten peger nordøst med en styrke på 0,2, så er retningen for den stejleste stigning nordøst, og hver meter, du rejser nordøst, vil resultere i 0,2 meter højdeforøgelse.
For gradienten af et vektorfelt kan du tænke på det som gradienten for hver komponent af dette vektorfelt individuelt, som hver er en skalar.