Bedste svar
\ frac {d} {dx} er ikke en “ting”. Du skal tænke på det som om det er navnet på en handling eller operation eller en funktion, der tager et input. [1]
Specifikt, hvis f (x) er en funktion, vil vi måske udføre handlingen med differentiering på denne funktion en måde at skrive denne handling på er \ frac {d} {dx} f (x). Dette betyder, at f (x) er input til operationen af differentiering-i forhold til-x.
Grammatisk er \ frac {d} {dx} ikke “en komplet sætning” eller endda et selvforsynende substantiv. Det ligner mere et verbum, der har brug for et direkte objekt. Det direkte objekt kan være en hvilken som helst funktion af x – især hvis y er en funktion af x, så er \ frac {d} {dx} y fornuftigt at skrive . På engelsk betyder denne sætning “resultatet af at tage afledningen-med-respekt-til-x af y”. For kortfattethed skriver vi normalt dette som \ frac {dy} {dx}, men indtil du er fortrolig med \ frac {d} {dx} -notationen, jeg foreslår, at du fortsætter med at skrive input til differentieringsoperationen til højre, som jeg har gjort.
Til dit andet spørgsmål: kædereglen er metoden til beregning af et afledt af en sammensætning af funktioner.
[1] Ja, jeg ved, funktioner er også ting.
Svar
Lad f være funktionen:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ højre) hvor x\_ {1} = x\_ {1} \ venstre (t \ højre), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ venstre (t \ højre)
Lad “s beregner \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Ved at differentiere (1) får vi:
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
Hvis vi deler begge sider med dt, er resultatet:
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ tekst {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Vi får slutresultatet:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x “\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x “\_ {n} (t) Denne afledning udføres ved hjælp af definitionen af differentiering af en multivariabel funktion (ligning (2)).
Så hvordan fik vi denne definition? Lad os først se, hvordan vi definerer, at f kan differentieres på et tidspunkt A.
Hvis vi kan vise, at den samlede forskel for en funktion f på et tidspunkt A ser sådan ud:
\ trekant f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ trekant x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
hvor p\_ {k} er en numerisk koefficient, \ omega er en funktion, der har en egenskab, der \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 og \ rho (X, A) er euklidisk afstand mellem A og X så siger vi, at funktion f kan differentieres ved punkt A.
Nu skal vi bruge endnu en sætning:
Udtryk \ omega (X) \ rho (X, A) fra ovenstående kan skrives som:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Bevis:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
siden | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), fordi | x\_ {k} -a\_ {k} | er kanten en d \ rho (X, A) er diagonalen for retvinklet parallelepiped, vi kan tage brøkdelen til at være \ epsilon\_ {k} (X).
Vi har nu kun brug for endnu en sætning for at komme til differencen. Denne sætning giver os de nødvendige betingelser for at have funktionens differens.
Hvis funktionen f er, kan differentieret på et tidspunkt A, så er der delvise differentier på det tidspunkt, og det er sandt, at:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Bevis:
Da vi har sagt, at f kan differentieres ved punkt A, kan vi skrive:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Lad os sige, at n-1-variabler her er konstante, og vi vil kun lade en ændring for lidt. For eksempel: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, får vi:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. På venstre side har vi differens med hensyn til x\_ {1}. Hvis vi deler begge sider med x\_ {1} -a\_ {1} = \ trekant x\_ {1} vi får:
\ frac {\ trekant f\_ {x\_ {1}}} {\ trekant x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nu, hvis x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , det vil sige \ trekant x\_ {1} \ mapsto 0, på venstre side har vi delvis differentiering i forhold til x\_ {1}, og på højre side er vi tilbage med p\_ {1} fordi vi har sagt, at \ omega (X) \ mapsto 0. Det er let at se, at det samme resultat gælder uanset hvilken variabel vi ender med at ændre, derfor har vi bevist denne sætning. Herfra har vi den
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} som vi brugte til at finde løsningen.