Bedste svar
Du kan altid prøve at beregne et par mindre eksponenter og finde et gentaget mønster for de resterende . Lad os beregne resten af 2 ^ n divideret med 18, begyndende med n = 1:
- n = 1, 2 ^ 1 = 2, resten er 2;
- n = 2, 2 ^ 2 = 4, resten er 4;
- n = 3, 2 ^ 3 = 8, resten er 8;
- n = 4, 2 ^ 4 = 16 , resten er 16;
- n = 5, 2 ^ 5 = 32, resten er 14;
- n = 6, 2 ^ 6 = 64, resten er 10;
- n = 7, 2 ^ 7 = 128, resten er 2;
- n = 8, 2 ^ 8 = 256, resten er 4;
- \ cdots \ cdots
Når eksponenterne bliver større, behøver du faktisk ikke beregne de faktiske kræfter på 2; i stedet multiplicerer du bare den foregående rest med 2 og finder derefter den nye rest fra det resultat. Det er klart, at resten gentager hvert 6. tal. Så for eksponenten 200 finder vi bare ud resten, når 200 divideres med 6, hvilket er 2. Derfor er resten, når 2 ^ {200} divideres med 18, det samme som resten for 2 ^ 2, hvilket er lig med 4.
Svar
2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}
\ antyder (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}
\ antyder (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}
\ antyder 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}
\ antyder (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}
\ antyder (2 ^ {100}) \ equiv 1024 \ pmod {18}
\ implicerer (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implicerer (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}
\ antyder (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}
\ text {Derfor er 4 resten når} \, 2 ^ {200} \, \ text {divideres med 18}