Bedste svar
Vil forklare ved hjælp af et eksempel. Figuren viser et bindestol indlæst og understøttet som vist. Vores interesse er at finde ud af reaktioner og kræfterne i alle medlemmer af et bindingsværk. Reaktionerne og kræfterne i medlemmer afhænger ikke kun af størrelsen og retningen af de påførte kræfter, men også af deres placering, dvs. anvendelsespunkterne. Rumdiagrammet tager sig af kraftens påføringspunkt og bindingenes geometri.
Ovenstående viste figur er kun for at få reaktionerne. Anvendt kraft P\_1 er ab og kraft P\_2 er bc i vektordiagrammet. Reaktion R\_1 er lig med da og Reaktion R\_2 er lig med cd i vektordiagrammet.
Vi kan gå videre med rumdiagrammet og vektordiagrammet for at beregne kræfter i alle medlemmerne. Ikke gjort her bare for at holde figuren meget enkel at forstå.
Ligevægtsbetingelse er opfyldt, når vektordiagrammet og kabelbanens polygon lukkes.
Svar
Det er ikke helt klart, hvad “positioner” betyder her, men jeg tror, et svar kan være, at vektorer ikke har positioner, men vektorrum kan have positioner, og disse to ideer dækker applikationerne.
I m antager her, at manglen på “positionalitet” i spørgsmålet henviser til det faktum, at parallelle “pile” af samme længde og orientering repræsenterer den samme vektor. Der er adskillige grunde til at indføre denne konvention.
- En af de grundlæggende ideer bag grundlæggende vektorbrug er begrebet en forskydning , som også er kilden til hastighed, acceleration og (via F = ma) kraft. Forskydninger har ikke position, snarere er der en potentiel forskydning af en given retning og størrelse i hver position. Hvis vi siger “gå ti miles nordvest”, er det en forskydningsinstruktion, der gælder overalt og ikke kun et bestemt sted.
- Forskydninger kan kombineres, men kun hvis den anden forskydning begynder, hvor den første slutter . Hvis forskydningerne er repræsenteret af pile, skal en af pilene oversættes for at få den kombinerede forskydning for at få en hale-til-hoved-konfiguration for den kombinerede forskydning. Selvfølgelig ville dette ikke give mening, hvis den oversatte pil ikke fortsatte med at repræsentere den samme forskydning.
- Erfaring med kræfternes opførsel kræver evnen til at oversætte kraftpile rundt, da med hensyn til kræfter genstande opfører sig som om al deres masse er koncentreret i deres tyngdepunkt, og alle kræfter virker på dette punkt. (Jeg har været forsigtig med mit kursiverede sprog her, da der sker noget andet, når drejningsmomenter introduceres!)
Den matematiske abstraktion, der dækker alle disse situationer, er vektorrummet. Hvis vi har brug for at have pile, der kan placeres hvor som helst, så pålægger vi et ækvivalensforhold på pilsættet, hvilket gør to pile ækvivalente, hvis de er parallelle og har samme retning. (“Samme retning” har intuitivt indhold, der er lidt vanskeligt at gøre systematisk.) En vektor bliver derefter til en ækvivalensklasse af pile, og vektortilskud defineres ved at tage “bekvemme” klasserepræsentanter og tilføje dem via enten halen-til-hovedet eller parallelogramloven.
Brug af ækvivalensklasser og deres repræsentanter burde slet ikke virke underlige; det er nøjagtigt hvad vi gør med brøker. En “brøkdel” kan betragtes som en ækvivalensklasse af symbolerne a / b (b \ ne 0) under ækvivalensrelationen a / b \ equiv (na) / (nb). Når vi vil tilføje to “fraktioner”, rodfæster vi deres respektive ækvivalensklasser, indtil vi finder to repræsentanter med samme nævneren, og derefter tilføjer tællerne. Vektortilsætning er meget analog med dette. Desuden er der med fraktioner et “foretrukket” sæt klassemedarbejdere, fraktionerne “i laveste udtryk.” For vektorer er der også en “foretrukken” klasse af repræsentanter, vektorerne, hvis haler er ved oprindelsen, og det er disse, der betragtes som de abstrakte elementer i et vektorrum, når pilen analogi er i spil.
Nu er der situationer, hvor det virkelig betyder noget, hvor pilen er, at flytte pilen giver ingen mening, og pile placeret på forskellige punkter kan ikke og bør ikke tilføjes. Et vejrkort med pile, der repræsenterer vindhastigheder forskellige steder, er et sådant eksempel. De tidligere nævnte drejningsmomenter er også et eksempel; placeringen af en kraft i forhold til tyngdepunktet betyder noget, og kraftpilen kan ikke oversættes til et andet punkt uden at ændre det resulterende drejningsmoment. (Bemærk forresten, at drejningsmomenterne i sig selv er vektorer, end der kan tilføjes.) For et generisk matematisk eksempel består gradientfeltet i et skalarfelt af pile, der er fastgjort til bestemte placeringer og ikke vilkårligt kan oversættes.
En elementær observation om disse positionsafhængige vektorer er, at den sædvanlige vektor rumlove (tilføjelse og skalar multiplikation) fortsætter med at holde for alle vektorer i en hvilken som helst fast position . Dette fortæller os, at “løsningen” til det positionsafhængige sammenfald er at placere et helt vektorrum på hvert punkt i det pågældende rum. De resulterende rum er kaldes typisk tangentrum , da tangentrummet på et punkt kan betragtes som sættet med alle hastighedsvektorer til parametriserede stier gennem dette punkt (forudsat tilstrækkelig differentiering til beskrivelsen for at give mening).
Samlingen af alle tangentrum kaldes tangens bundt, og nu, hvis du har brug for en positionsafhængig vektor på hvert punkt i dit rum, har du brug for et kort fra rummet til det tangentbundt, der udvælger nøjagtigt en vektor i hvert tangentrum ved forskellige punkter et sådant kort kaldes en sektion af bundtet, og den resulterende samling af positionsafhængige vektorer kaldes en vektorfelt på det oprindelige rum.
På denne måde får vi vores kage og spiser den også; vektorer har ikke “positioner”, men vektorrum.