Bedste svar
I elektromagnetisk stråling (radiometri) er det en koncentration eller en funktion af bølgelængden af en belysning (radiometrisk udgang).
Strålingsintensitet og lysstrøm eller den opfattede styrke af lys er eksempler på spektralfordeling.
Den spektrale effektfordeling over det synlige spektrum fra en kilde kan have varierende koncentrationer af relative SPDer. For eksempel producerer solens relative spektrale effektfordeling et hvidt udseende, hvis det observeres direkte, men når sollyset oplyser jordens atmosfære, ser himlen blå ud under normale dagslysforhold.
SPD kan også være bruges til at bestemme responsen fra en sensor ved en bestemt bølgelængde.
Håber du kunne lide dette svar! Opstem og følg mig 🙂
Svar
Måske er det er nyttigt at først overveje følgende vildledende-elementære spørgsmål:
Spørgsmål: Hvad er en kvalitativ, ikke-algebraisk egenskab af en diagonaliserbar matrix, der adskiller dem fra ikke-diagonaliserbare matricer? (Glem alt om diagonaliseringen foretages af en enhed for nu.)
Et svar på dette nedtonede spørgsmål starter med at observere, at diagonale matricer har følgende
Polynomisk egenskab af diagonaliserbare matricer: Hvis A er en diagonaliserbar matrix, og P er et ægte polynom, afhænger P (A) kun af værdierne P (lamda) af P ved egenværdierne lamda af A.
Her bruger vi
Definition af anvendelse af et polynom til en matrix: Hvis P (x) er et polynom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
og A er en matrix, så definerer vi
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
hvor I er identitetsmatrixen, og hvor eksponenterne dannes ved hjælp af matrixmultiplikation.
Du kan bevise denne polynomiske egenskab af diagonaliserbare matricer ovenfor ved at diagonalisere A og se på, hvad der sker, når du tager et polynom af en diagonal matrix.
For en diagonaliserbar matrix kan man udvide begrebet anvendelse af funktioner til matricer fra polynomer til vilkårlig fu nktioner ved hjælp af følgende
Definition (funktionel beregning for diagonaliserbare matricer, inelegant form): Lad A være en diagonaliserbar matrix, og lad f være en reel- eller kompleksværdifunktion af egenværdierne for A. Så er f (A) matricen
f (A) = M f (D) M ^ -1,
hvor
A = MDM ^ -1
er en diagonalisering af A, med D diagonal og M inverterbar, og hvor f (D) dannes ved at erstatte hver diagonal indgangslamda af D af f (lamda).
Eksempel: Lad f (x) = x ^ (1/3) være terningen funktion, og lad A være en diagonaliserbar matrix. Så er C = f (A) faktisk en terningsrod af A: C ^ 3 = A.
Eksempel: Hvis A er nonsingular og diagonaliserbar og f (x) = 1 / x, så er f (A) den omvendte matrix af A.
Eksempel: Hvis A er diagonaliserbart og f (x) = exp (x), så er f (A) matrixeksponentialet for A, givet af den sædvanlige Taylor-serie:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
For at se, at denne definition af f (A) er veldefineret (dvs. uafhængig af diagonaliseringen) og at se, hvordan man fortsætter i det ikke-diagonaliserbare tilfælde, er det nyttigt for at omdefinere f (A) til diagonal A i følgende form:
Alternativ definition (funktionel beregning for diagonaliserbare matricer, bedre form): Lad A være en diagonal matrix, og lad f være en reel- eller kompleksværdifunktion af egenværdierne af A. Derefter er f (A) = P (A), hvor P er et polynom valgt således, at f (lamda) = P (lamda) for hver egenværdilamda af A.
Især behøver man ikke faktisk diagonalisere en matrix for at beregne en funktion f (A) for matrixen: Interpolation af f ved egenværdierne af A giver et polynom tilstrækkeligt til at beregne f (A).
Hvad sker der nu, hvis A ikke er diagonaliserbar? Nå, hvis vi arbejder på de komplekse tal, så siger Jordan-formen , at ved at vælge et passende grundlag kan en sådan matrix skrives som en blokdiagonal matrix, en direkte sum af Jordan Blocks Jn som
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
hvor Jn er angstmatrix med noget komplekst tal a på diagonalen og en kæde på 1 “s over diagonalen. Bemærk, at Mn i hvert tilfælde har den enkelte egenværdi a af flerhed n.
Ingen af disse Jordan-blokke kan diagoniseres, da følgende sætning siger, at Jordan-blokke deler ikke polynomieegenskaben til diagonale matricer :
Sætning: (Polynomernes handling på Jordanblokke) Lad P være en polynom, og lad Jn være en nxn Jordan-blok af ovenstående form. Derefter afhænger P (J) kun af P (a) og af dens første n-derivater ved a. IE
P (J2) = P (a) P “(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2 0 P (a) P” (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2! P” “(a) / 3! 0 P (a) P “(a) P” “(a) / 2! 0 0 P (a ) P “(a) 0 0 0 P (a)
og så videre.
Man kan verificere sætningen ovenfor ved at kontrollere den for monomier og derefter udvide til polynomier, som bare er lineære kombinationer af monomier.
For at se, hvordan dette relaterer sig til beregningsfunktioner i matricer, skal du overveje følgende problem, der anvender kubens rodfunktion til matricer:
Problem (terningsrødder til matricer): Lad A være en ikke-ensformet mxm ægte eller kompleks matrix. Find en terningsrod C = A ^ (1/3) af A, det vil sige en matrix C, således at A = C ^ 3.
Vi giver to løsninger: Den første involverer eksplicit beregning af Jordanformen af matrixen A, og den anden bruger kun eksistensen af Jordan-formen uden eksplicit beregning.
Løsning 1: Af Jordan-formularen , kan vi nedbryde matricen A i Jordanblokke Jn ved hjælp af et valg af basis, så vi begrænser overvejelsen til sagen, at A = Jn for nogle n. For eksempel for et komplekst tal a
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Nu er det ikke svært at vise, at der er et polynom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
således at man ved egenværdien a af J3 har
P (a) = a ^ (1/3) P “(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” “(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Da vi antager, at ingen egenværdi er 0, er intet uendeligt.)
(IE P er funktionen x -> x ^ 1/3 op til det andet afledt ved punktet x = a. Der er en vis tvetydighed i definitionen af a ^ 1/3 i det komplekse tilfælde, så jeg har skrevet a ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) for at tage sig af dette, hvilket betyder at den samme terningrod bruges i alle tre formler.) Faktisk
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
selvom vi faktisk ikke behøvede at beregne P, da fra den generelle formel for P (J3) i sætningen ovenfor,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Dette er bare vores ønskede terningsrod af J3!
C = P (J3).
For at se denne note, at
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
hvor R (x) er polynomet tilfredsstillende
R (x) = (P (x)) ^ 3.
Den vigtige egenskab ved R er, at punktet x = a, polynomet R = P ^ 3 matcher identitetsfunktionen x -> x op til derivater af rækkefølge 2
R (a) = a R “(a) = 1 R” “(a) = 0,
således at ved den generelle formel for et polynomium anvendt på en Jordan-blok,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R “(a) R “” (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R “(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
som ønsket.
Løsning 2: Hvis A er en mxm-matrix, skal du finde et polynom P (x), så ved hver egenværdi x = a af A polynomet og dets derivater af rækkefølge op til m-1 matcher den ønskede funktion x -> x ^ 1/3. Derefter er C = P (A) den ønskede terningrod af A.
Bemærk, at løsning 2 fungerer, fordi alle Jordanblokkene i A vil være af størrelse mindre end n, og ved opløsning 1 er polynomet P vil erstatte hver jordan-blok med dens terningrod. Da vi ikke gik eksplicit til at beregne Jordan-formen af A, kan det polynom P, vi anvendte, være af unødvendig høj grad, fordi vi ikke kendte længden af Jordan-kæderne. Polynominterpolation var dog sandsynligvis ikke så meget arbejde som at beregne Jordan-formen. (Desuden undgik vi på denne måde enhver numerisk ustabilitet forbundet med Jordan-formen og degenererede egenværdier.)
Eksemplet på terningen root inviterer til følgende definition:
Definition (variant af Dunford-calculus i det endelige dimensionelle tilfælde) : Lad A være en selv- sammenhængende matrix. Lad f være en reel eller kompleks funktion, hvis domæne indeholder egenværdierne for A. Derefter
f (A) = P (A),
hvor P (x) er et polynom, således at for hver egenværdi x = a
P (a) = f (a) P “(a) = f” (a) P “” (a) = f “” (a ) …………
hvor antallet af afledte derivater er mindst størrelsen på den største kæde på 1 “i Jordanblokken svarende til egenværdien a.
Man kan kontrollere, at resultatet af anvendelse af funktionen x-> 1 / x til en matrix A faktisk er den sædvanlige inverse matrix af A. Man kan også kontrollere, at resultatet af anvendelse af den eksponentielle funktion eller sinusfunktionen til en matrix A er den samme som at anvende den tilsvarende Taylor-serie til exp eller sin på matricen A.
Begrebet anvendelse af en funktion til en matrix kaldes en “funktionel beregning”, som er hvorfor Dunford-calculus kaldes en “calculus”.
Det er standard i definitionen af Dunford-beregningen at kræve, at f har komplekse derivater, og generelt definerer man dette ved hjælp af Cauchy-integralformlen i det uendelig-dimensionelle tilfælde. Jeg har skåret igennem alt dette for blot at forklare det enkle, endelige dimensionelle tilfælde, og jeg er gået væk fra at forklare, hvad et afledt af en funktion fra de komplekse tal til de komplekse tal er. (Heldigvis er funktionen x-> x ^ (1/3) uendelig differentierbar på ikke-nul-realerne.) Der kan være nogle finesser her, men jeg prøver at give et hurtigt overblik over begreberne.
Det er derfor åbenlyst, at Jordanformen i en eller anden forstand i det væsentlige er Dunford-beregningen, og spektral sætningen er den funktionelle beregning for selvtilstødende operatører. (Sidstnævnte er synspunktet taget af Reed & Simon i “Metoder til Matematisk fysik I: Funktionsanalyse. Denne diskussion er kun endelig-dimensionel, men Reed & Simon betragter det uendelige-dimensionelle tilfælde.)
Under alle omstændigheder er resultatet af alt dette, at diagonaliserbarhed er relateret til forestillinger om at tage matrixfunktioner. Dette kaldes den funktionelle beregning, og der er forskellige funktionelle beregninger.
Nu er selvtilknytning lidt dybere, fordi det indebærer enhedsdiagonaliserbarhed, ikke kun diagonaliserbarhed. Ejrummet bliver ortogonale. Jeg har ikke tænkt på en god måde at forklare, hvad der er intuitivt afgørende ved dette. Imidlertid kan der i kvantemekanik skelnes mellem ortogonale ejendomme, og selvtilslutning bliver en naturlig tilstand. Spektret for hydrogenatomet er bare forskellene mellem egenværdier for sin Hamilton-operatør.
At komme med en intuitiv forklaring på, hvorfor kvantemekanik involverer en sådan matematik, ligger uden for mig.