Bedste svar
En spinor er bare en vektor, der opfører sig forskelligt under rotation og visse andre transformationer .
I stedet for at tale i almindelighed synes jeg, det bliver meget lettere at tænke på spinorer, når du har et konkret matematisk eksempel at arbejde med. Dette svar vil gøre netop det. Der antages ingen matematisk viden ud over indledende lineær algebra.
En mere teknisk introduktion kan findes fra Steanes fremragende indledende papir om emnet med en mere detaljeret behandling her: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Alle illustrationer nedenfor er hans. Hvis jeg får noget galt, er du velkommen til at kommentere.
Hvad Spinors er
Jeg sagde ovenfor, at spinorer var bare vektorer. Hvad betyder det? Det betyder, at de har alle vektorernes egenskaber:
- de kan føjes sammen,
- ganget med en konstant (også kaldet en skalar ),
- der er sådan en ting som en “nul” spinor,
- og hver spinor har en invers spinor.
Du kan gå fremad og tilføj mere komplekse krav:
- To spinorer kan have et veldefineret indre produkt, ligesom vektorrum.
- En spinor kan have en meningsfuld længde, ligesom andre vektorrum.
og så videre.
Om kun krav for en spinor, der gør det adskilt fra en vektor er, at forsøg på at rotere det ikke giver dig det forventede resultat – forsøg på at rotere 360 grader giver dig ikke den samme spinor, men roterende 180 grader vil. Mere generelt kræver rotation med en vinkel \ theta at bruge rotationsmatrixen til en vinkel \ theta / 2!
Med dette i tankerne er her en simpel spinor, som man kan forestille sig i et almindeligt tredimensionelt euklidisk rum og som antager alle de egenskaber, jeg har nævnt ovenfor. Dette er den enkleste spinor og den, der vil være den mest velkendte for fysikere.
Her er en perfekt gyldig matematisk beskrivelse af spinoren ovenfor:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Sig hej til din første spinor!
Tænker på spinorer: en advarsel
Før jeg fortsætter, bemærker noget: det euklidiske rum er, som jeg nævnte, tredimensionelt – alligevel har jeg kun brug for to komponenter til at repræsentere min spinor! Hvordan kan det være? Skal ikke alle vektorer have det samme antal komponenter som dimensionen af det rum, de optager?
Modsigelsen kan løses i en sætning: spinorer bor ikke i det euklidiske rum – de kan svare til objekter i det euklidiske rum, og ting, der gøres mod dem, kan bringes til at svare til det, der gøres i det euklidiske rum, men det er ikke deres hjem.
Sandheden er, at spinoren ikke har to komponenter som jeg sagde ovenfor (på dette tidspunkt kigger du sandsynligvis på skærmen og sværger under din ånde ). En spinor har ikke den samme retning som en vektor i det vektorrum, vi har lagt det i – du kan modellere objekter i et almindeligt vektorrum med det, som jeg har her, men en ægte spinor er defineret af flere parametre end for en almindelig vektor i et sådant rum.
Forenklet , hvor orienteringen af en almindelig vektor netop ville blive defineret af r, \ theta, \ phi, er orienteringen af en spinor defineret af r, \ theta, \ phi, \ alpha og dets tegn (antaget positivt i eksemplet ovenfor) – korrekt kan et tredimensionelt vektorrum repræsenteres af en fir- dimensionel spinor (tegnet, da det kun kan tage to værdier, kan også betragtes som en dimension, men det ville være temmelig unødvendigt).
Du kan skrive denne spinor ud enten som en vektor med fire komponenter , en for hver parameter, ganget med et tegn – eller du kan bruge et trick som Jeg har gjort, og foregiver at spinoren har komplekse komponenter, som giver os mulighed for pænt at skrive den samme spinor med ovenstående repræsentation med to koordinater.Dette er grunden til, at min spinor ser ud til at have to komponenter, når den virkelig har fire parametre og den tilhørende dimension, der følger med den, i et tredimensionelt vektorrum: fordi vores spinorer eksisterer i deres eget komplekse rum ikke i det tredimensionelle vektorrum.
Så før jeg går videre, skal huske : spinorer behøver kun at have den samme rumlige dimension (dvs. de parametre, der kræves for at specificere dets orientering i rummet), men det behøver ikke være de eneste parametre, der definerer det. I dette tilfælde behandler jeg komponenterne i min spinor som komplekse værdier, hvorfor jeg kan skrive det så kortfattet i en to-komponent søjlevektor – men spinorer kan og har flere parametre, hvorfor de er ret vanskelige at arbejde med.
I det virkelige liv vil jeg kraftigt anbefale at huske, at spinorer ikke “t virkelig bor ved siden af os – de er, som alle andre ting i fysik, matematiske abstraktioner , der gør livet lettere at arbejde med. Alt, hvad vi virkelig sker med tredimensionelle objekter – men vi kan bruge spinorer til at modellere dem og gøre matematikken pænere, hvorfor vi gør det.
At kør dette punkt hjem, overvej følgende diagram:
Bemærk hvordan tilstedeværelsen af flagvinklen komplicerer spørgsmål så enkle som rotation, og hvad der er ortogonalitet. Det er en ekstra parameter , og det gør hele forskellen.
På grund af problemerne med denne ulige dimensionalitet af spinoren kan du ikke bare bruge den almindelige rotationsmatrix til to dimensioner vi er mest fortrolige med, nemlig den allestedsnærværende \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} for enhver vinkel. Dette ville være korrekt for en todimensionel vektor, men selv de enkleste spinorer er ikke , da jeg har gået langt for at påpege, to-dimensionel. Du kan heller ikke engang bruge de almindelige tredimensionelle matricer – du kan bestemt oversætte effekten af rotation til disse fyre, men det er ikke korrekt at direkte gang en spinor med dem, fordi de ikke hører til i samme rum.
Sådan roterer du rotorer
En rotation omkring hver akse gives derefter ved sin egen specielle rotationsmatrix, defineret i et et helt andet rum, hvor spinorer faktisk bor (snarere end et euklidisk rum). Lad os angive rotationsmatricerne ved vinkel \ theta i x-, y-, z-retningen som R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Derefter ,
R\_ {x} = \ begynder {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begynder {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Her er den sjove del: bemærker du hvordan alle disse rotationsmatricer bruger halvvinklen \ frac {\ theta} {2} til at rotere efter vinklen \ theta?
Det er sandt! Dette vinkelfordoblingsfænomen er kendetegnende for spinorer: Du kan endda bevise, at multiplicering af en spinor med disse halvvinklede matricer svarer til , der roterer den rumlige del af fuld vinkel.
Og det “bogstaveligt talt det : alt hvad du har brug for at vide om spinorer – at de er vektorer, der bor i deres eget specielle rum og har deres egne specielle rotationsmatricer – dækket af et Quora-svar. Jeg har selvfølgelig begrænset min opmærksomhed til de enkleste spinorer derude, men det væsentlige funktioner er alle præsenteret. Hvis du vil grave mere ind, bedes du kontakte Steane (linket ovenfor).
Hvorfor vi holder af spinorer
Spinors betyder noget, fordi det viser sig, at de er i stand til at beskrive hele spektret af forventet adfærd fra subatomære partikler. Specielt kommer partikler sammen med iboende vinkelmoment, en egenskab, vi kalder spin (se Brian Bis svar på Indeholder spin af subatomære partikler faktisk vinkelmoment (dvs. er partiklen faktisk * spinding *)? for en fuld beskrivelse).Ved at modellere partikler som spinorer snarere end almindelige vektorer, er vi i stand til med succes at beskrive den interaktion, vi forventer af dette spin, samt give en komplet beskrivelse af partikeladfærd – faktisk, spinors danner grundlaget for Dirac-ligningen, der erstatter Schrodinger-ligningen at give en speciel-relativitetskompatibel bølgeligning og til gengæld danner grundlaget for kvantefeltsteori (udvidelsen af kvantemekanik til at beskrive kræfter).
Svar
Spinors er geometriske objekter, der eksisterer i at leve i reelle vektorrum (i modsætning til komplekse eller kvaternioniske vektorrum).
Så for at træde tilbage er en vektor et objekt, der eksisterer i rummet og siges at pege i en given retning. Hvad det betyder er, at hvis du roterer dine akser, ændres komponentvektoren på samme måde.
Vektorer har den egenskab, at hvis du roterer dem 360 “, får du det samme objekt tilbage.
Der er et væld af geometriske objekter, der kan konstrueres ud fra vektorer. For eksempel du kan tage to vektorer og multiplicere dem sammen for at få tensorer. Især er inertimomentet en af dem. Tensorer har den egenskab, at hvis du roterer dem med 360 “/ N, får du det samme objekt tilbage, og hvis du rotere dem 360 “, kommer du altid tilbage til det samme objekt.
I rum, der har en symmetrisk gruppe, der er ortogonal (dem, der naturligt opstår i reelle vektorrum), er der andre typer geometriske objekter, der er ikke består af vektorer. En måde at se dette på er, at hvis du roterer dem 360 “, får du ikke det samme objekt tilbage, i stedet for ender du med -1 gange det oprindelige objekt – det peger i “modsatte retning.
Dette er underlige objekter; disse objekter er dog dem, der naturligt beskriver spin 1/2 objekter i fysik.
Disse objekter findes på grund af den underlige egenskab, at den ortogonale symmetri-gruppe er dobbelt forbundet. Der er en rig matematisk struktur her, men disse objekter er moralsk kvadratroden af en vektor – det vil sige, at hvis du multiplicerer to spinorer sammen, får du en vektor, som når du multiplicerer to vektorer sammen, får du en anden rang tensor som øjeblikket af inerti tensor.