Bedste svar
Der er 2 svar, vi kan finde her til dette spørgsmål.
- -1/12
- Uendelig
Klart \ sum \ limit\_ {n \ i \ mathbb {R}} n divergerer. Men hvorfor svarer nogle mennesker -1/12? Fordi begge er korrekte.
Dette er et af de enkleste eksempler på et koncept, der er afgørende for forståelse af fysiske teorier, regulering. Tallet -1/12, tilsyneladende absurd, har en fysisk fortolkning i den såkaldte Casimir-energi.
Ofte når vi forsøger at beregne fysiske størrelser i kvanteteorier, får vi uendelig. På det tidspunkt kan vi bare smide svaret væk, men dette fører os ingen steder. Alternativt kan vi prøve at give mening ud af det. For at gøre det forsøger vi at udvinde et endeligt svar fra uendeligt. Denne proces kaldes regularisering. Der kunne være mange måder at systematisk regulere en divergerende serie (eller integreret), men det vigtige punkt er, at alle disse metoder ville give det samme endelige resultat. Især vil ovenstående sum altid give os -1/12. Dette i sig selv antyder, at -1/12 ikke er helt absurd.
Følgende diskussion stammer hovedsageligt fra afsnit 4.1 i Birrel og Davies – Quantum Fields in Curved Space. Jeg vil præsentere kernen i diskussionen.
Antag, at vi betragter et masseløst skalarfelt i 2 dimensioner (en tidsretning og et mellemrum). Et masseløst skalarfelt ligner meget det elektromagnetiske felt, men meget enklere. Lad os også begrænse det skalære felt på en cirkel med omkreds L. Nu har vi defineret et kvantesystem, og vi kan forsøge at beregne forskellige størrelser, inklusive minimums- / jordtilstandsenergien i dette system. Jordtilstandenergien viser sig at være E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ grænser\_ {n \ i \ mathbb {R}} n.
Nu kan vi regulere denne integral og få E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Det vigtige punkt er, at det er nøjagtigt, hvad vi får, hvis vi forsøgte at beregne forskellen mellem jordtilstandsenergi i dette system og et andet lignende system, hvor det skalære felt er begrænset til en linje med uendelig længde (som i det væsentlige tager omkredsen af cirklen skal være uendelig). Denne regulerede energi er tydeligvis en fysisk størrelse og kan faktisk måles i laboratoriet.
Vi konkluderer, at udsagnet \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 er ikke ugyldigt.
Rediger:
Følgende er en måde, hvorpå vi kan regulere summen.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ til 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ til 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Ovenstående grænse afviger som forventet , men kan skrives som følger
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Sådan henter vi en reguleret endelig del fra den divergerende summering. Måden at regulere summen på er ikke unik, men den endelige del af summen er altid -1/12.
Svar
Hvad mener vi med “er” eller “lighed”? Det er spørgsmålet, der ligger til grund for forvirringen omkring summen af alle naturlige tal.
Endelige summer
Vi don “har ikke et problem med begrænsede summer:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
er perfekt veldefineret til enhver sekvens af a\_i \ i \ mathbb R. Takket være additivets kommutativitet og associativitet afhænger det ikke engang af rækkefølgen af a\_i: du kan blande rækkefølgen i enhver permutation uden at påvirke resultatet.
Uendelig serie
Når vi kommer til uendelige sekvenser, (a\_i), hvad betyder imidlertid den uendelige sum overhovedet? Hvad er ?
Den enkleste, sikreste og standard betydning er en grænse på begrænsede summer. Det er definitionen af en uendelig sum er
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Når denne serie konvergerer helt , er alt i orden. Du kan:
- stole på resultatet;
- blande rækkefølgen af udtryk;
- tilføje eller trække to sådanne serier; og endda
- skift rækkefølgen af to indlejrede summeringer.
Men hvis serien er divergerende eller kun betinget konvergent værdien:
- findes muligvis ikke;
- kan afhænge af rækkefølgen; eller
- kan kræve fancy metoder for at definere
og du kan hverken manipulere vilkår for sekvensen eller tilføj / træk to sådanne sekvenser.
Sådan er det med summen af de naturlige tal, hvor
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Dette afviger tydeligt fra + \ infty som n \ til \ infty, så standardværdien findes ikke. Og det er så langt som de fleste mennesker skal gå.
Fancy Methods
Hvis du ikke gør det helt, selv forstå den nøjagtige betydning af alt ovenfor, du burde ikke gå videre til fancy metoder. Ligeledes skal du behandle enhver, der manipulerer ikke-absolutte konvergerende sekvenser, som om de dividerede med nul: resultaterne er lige så pålidelige.
Der er en perfekt respektabel uendelig serie kaldet Dirichlet Series :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Hvis (a\_n) er afgrænset, konvergerer denne serie absolut for enhver s \ in \ mathbb C, hvis reelle del er strengt større end en, \ Re (s)> 1. For \ Re (s) \ leq1 er vi på mindre fast grund …
Analytisk fortsættelse
Siden f ( s) er en analytisk funktion defineret på det åbne halvplan med \ Re (s)> 1, den har en i det væsentlige unik analytisk fortsættelse til resten af det komplekse plan. Fortsættelsen, når alle a\_n er en, f\_1 (s), er Riemann Zeta-funktion :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
hvor \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x er Gamma-funktionen , en analytisk udvidelse af faktorfunktionen.
For \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb konvergerer ikke
Hvis du nu vil gøre noget, der hedder regulering af zeta-funktion , skal du kunne hævde
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
men vær opmærksom på, at du kaster dig ud af, hvad “lighed” betyder, og hvad en opsummering “er”.
Det er fint, men hvis du er kommet så langt, har du bemærket, hvor meget du har brug for ved at forstå, hvad du laver. Meget mere, end du typisk får en Numberphile-video …